?

Log in

No account? Create an account

eslitak

Previous Entry Поделиться Next Entry
10:00 pm: Квантовый ликбез 24. Квантовые гейты.
Предыдущие посты

Рассуждая о классических компьютерах, мы говорили, что любое, сколь угодно сложное вычисление, может быть организовано с помощью ограниченного базисного набора элементарных операций - гейтов. То же самое справедливо и для квантовых вычислений. С некоторыми квантовыми гейтами мы уже бегло ознакомились, когда изучали квантовую телепортацию. Теперь давайте немного эту информацию систематизируем.


Начнём с однокубитных операций. Классический бит может находиться в состоянии либо «0», либо «1», третьего, как говориться, не дано. Стало быть, единственное, что с битом можно сделать, это изменить его состояние на противоположное.

Маленькое уточнение: на самом деле можно ещё принудительно установить бит в состояние «0» или «1». Это операции записи, мы их будем применять, конечно, но в число гейтов включать не будем. Также оставим за скобками вариант, формально эквивалентный применению «единичного» гейта, а на практике заключающийся в том, чтобы не делать с битом или кубитом ничего.

Итак, с учётом уточнения, существует только один однобитный гейт – «NOT».

Кубит может находится в квантовой суперпозиции групп витруальных вариантов |0〉 и |1〉:



«Доля» каждой из групп определяется двумя комплексными числами - амплитудами вероятности a0 и a1. Эти числа могут быть, в принципе, любыми. Значит, для кубита количество возможных квантовых состояний вида |ψ〉 бесконечно.

Также бесконечно количество разрешенных однокубитных операций, которые, по сути дела, просто определённым образом изменяют значения амплитуд вероятности a0 и a1. При моделировании квантового компьютера будем считать, что мы умеем совершать над кубитом всевозможные однокубитные операции. Единственное ограничение, накладываемое квантовой физикой на такие операции, это требование унитарности. Глубого копать в сторону понятия унитарности нам резона нет, но заметим, что унитарность обеспечивается обратимыми операциями, которые мы изучали в предыдущей части. Для более продвинутых скажем, что унитарные операции математически идентичны повороту вектора квантового состояния в условном пространстве, без изменения длины (модуля) вектора (смотрим часть 17-4).

На практике операции реализуются путём «дозированных» физических воздействий на кубит, типа тех, что мы изучали в части 16. Любое такое воздействие, напомню, описывается матрицей следующего вида:



Два числа в верхней строке показывают, как воздействие-операция изменяет группу |0〉. Два числа в нижней строке показывают, как изменяется группа |1〉. То есть, в общем случае для описания любой однокубитной операции достаточно этого набора из четырёх чисел. Для удобства некоторым, наиболее часто используемым операциям и их матрицам, присвоены особые обозначения.

Например, гейт [X], он же - квантовый «NOT» – гейт, описывается вот такой матрицей:



Давайте ещё раз постмотрим, как гейт [X] воздействует на состояние |ψ〉 (ф. 24.1.):



В результате воздействия [X] группы |0〉 и |1〉 «обменялись» амплитудами вероятности. Или можно взглянуть на это дело в другом ракурсе: воздействие [X] превратило группу |0〉 в группу |1〉, а группу |1〉, наоборот, в группу |0〉. Для полной ясности изобразим действие гейта [X] на следующей диаграмме:



Если забыли, как надо понимать такие диаграммы, посмотрите ещё раз часть 21-2.

В дальнейшем нам предстоит рисовать квантовые вычислительные схемы. Они по виду будут аналогичны классическим схемам (см. часть 22). В частности, однокубитные операции будем изображать в виде прямоугольников с символом операции внутри. Как показано на том же рисунке 24.1.

Ещё одна важная однокубитная операция - гейт Адамара [H]. Вот матрица это гейта:



Особенность этого гейта заключается в том, что он, с одной стороны, превращает определённые состояния кубита |0〉 и |1〉 в состояния с максимальной степенью неопределённости:



А с другой стороны, наоборот, превращает максимально неопределённое состояние в определённое, например:



Воздействие гейта [H] на произвольное однокубитное состояние типа (ф. 24.1) показано на следующей диаграмме:



Нужны, наверное, пояснения. На первом рисунке (считаем слева на право) показано исходное состояние кубита. Второй и последующий рисунки – состояние после воздействия [H]. На третьем рисунке области диаграммы упорядочены. Также заштрихованы «кусочки» группы |1〉 с положительным и отрицательным знаком, которые в силу суперпозиции «съедают» друг друга. На четвёртом рисунке состояние кубита показано уже без этих кусочков. Ну а пятый рисунок просто масштабирован по высоте, чтобы вы могли наглядно сравнить исходное состояние и то, что получилось в результате воздействия.

Позже нам потребуются ещё кое-какие однокубитные гейты, мы их рассмотрим по мере необходимости.

Из двухкубитных операций мы задействуем всего одну: гейт «CNOT». Если матрица однобитной операции имеет размерность 2х2 (четыре числа), то матрица двухкубитной операции имеет уже размерность 4х4 (16 чисел). Но физический смысл чисел в матрице тот же: каждая строка матрицы показывает, в какой пропорции воздействие «расщепляет» то или иное базисное двухкубитное состояние. Матрица гейта «CNOT» выглядит так:



При этом подразумевается, что:

  - первая (верхняя) строка показывает, как воздействие расщепляет базисное состояние |00〉;
  - вторая строка – расщепление базисного состояния |01〉;
  - третья строка – расщепление базисного состояния |10〉;
  - четвёртая строка – расщепление базисного состояния |11〉.

Логика работы гейта «CNOT» заключается в следующем. Операция никак «не затрагивает» группы |00〉 и |01〉, те, где контролирующий кубит равен нулю. А в тех группах, в которых контролирующий кубит равен единице – |10〉 и |11〉 – операция инвертирует значение рабочего бита. Иными словами, гейт «CNOT» превращает базисное состояние |10〉 в состояние |11〉 и наоборот.

На квантовых схемах гейт «CNOT» изображается так же, как и на классических:



В такой конфигурации кубит №1 - контролирующий, кубит №2 - «рабочий».

Разбирая классический «CNOT» мы говорили, что состояние контролирующего бита в результате операции не изменяется. Так вот, обращаю особое внимание на то, в квантовом случае ЭТО НЕ ТАК. Точнее, не всегда так. Смотрите, допустим, у нас имеется два кубита, «A» и «B», в следующих чистых состояниях:



Кубиты не запутаны друг с другом. Сепарабельное двухкубитное состояние системы |AB〉 мы можем записать как произведение однокубитных состояний |A〉 и |B〉:



Теперь применим к этим двум кубитам операцию «CNOT». Пусть при этом кубит «А» будет контрольным, кубит «B» – рабочим. В результате операции получаем:



Это уже не сепарабельное, а самое что ни на есть запутанное состояние. Таким образом мы запутали два «чистых» кубита в единую двухкубитную систему. Состояние и рабочего, и контролирующего кубита изменились - были чистыми, стали смешанными.

По сложившейся традидии изобразим работу гейта «CNOT» над состоянием (ф. 24.2) в виде диаграммы:



На правой диаграмме символы «А» и «B» обведены овальчиком – это чтобы показать, что кубиты запутались.

Однокубитные гейты в купе с двухкубитным гейтом «CNOT» уже составляют базис операций, достаточный для организации любых квантовых вычислений с кубитовым регистром какого угодно размера. Однако мы будем использовать при построении квантового компьютера ещё трёхкубитный гейт «CCNOT», который называют ещё «гейт Троффоли». Можно было бы обойтись и без него, но тогда вычислительные схемы будут выглядеть более громоздко и менее «усвояемо».

Матрица трёхкубитной операции «CCNOT» имеет размерность 8х8 (64 числа):



В гейте «CCNOT» два контролирующих кубита и один рабочий. Операция изменяет только те базисные состояния, где оба контролирующих бита равны единице. А именно, заставляет базисные состояния |110〉 и |111〉 «обменяться» амплитудами вероятности (смотрите две нижнох строки матрицы). Остальные шесть базисных состояний гейт «CCNOT» оставляет неизменными.

На схемах гейт «CCNOT» изображают так:



Здесь кубиты №1 и №2 – контролирующие, кубит №3 – рабочий.

Посмотрим, как гейт «CCNOT» действует на некоторое трёхкубитное состояние:



В следующей части мы уже начнём разбираться, как из этих и прочих квантовых гейтов собрать квантовый компьютер.

Продолжение


Tags: ,

Comments

[User Picture]
From:eslitak
Date:Июль 17, 2014 05:56 pm
(Link)
ИМХО, унитарность вообще не является физическим качеством мира, она является свойством описывающей мир математической модели. Равно как и скалярное произведение. Физическими же качествами являются "единичная сумма вероятностей" и детерминированность эволюции квантового состояния.

Между тем, неунитарные процессы, сохраняющие норму, тоже физически существуют: это измерение и связанный с ним коллапс волновой фнкуции. Или, как говорят завзятые квантовые механики - проекция на базисное квантовое состояние. Результат такого преобразования необратим, разумеется. Я, кстати, интуитивно уверен, что "корни" энтропии и "стрелы времени" лежат именно здесь.

> Обычно не пишу такие сомнительные рассуждения.

Нормальные рассуждения, почему бы не пофилософствовать иногда? :)
[User Picture]
From:yoginka
Date:Июль 17, 2014 06:52 pm
(Link)
//Я, кстати, интуитивно уверен, что "корни" энтропии и "стрелы времени" лежат именно здесь. //
- Я тоже так чувствую. Ведь обратимость по определению означает лишь то, что можно вычислить распределение вероятностей "назад", а это подразумевает, что и в прошлом есть неопределенность, как и в будущем. Что не имеет никакого смысла, если был акт измерения/наблюдения. И даже читала, что если бы не измерения (в широком смысле, т.е. существование наблюдателей, взаимодействий с другими системами), все так и оставалось бы "непроявленным", т.е. не существовало бы в виде объектов нашей "затвердевшей" реальности.

А совсем недавно (кажется, в начале этого года) Хокинг написал статью, где утверждалось, что прошлое так же неопределенно, как и будущее. Видела только заголовки, все не доходили руки прочитать, так что не вполне уверена, что там он имел в виду. Может, сегодня попозже под горячую руку посмотрю.



[User Picture]
From:eslitak
Date:Июль 17, 2014 07:09 pm
(Link)
Свой взгляд на это дело я излагал здесь:

http://eslitak.livejournal.com/237286.html

Исходя из седьмого постулата прошло действительно не предопределено в части тех событий, следствия которых пока никто не пронаблюдал.
[User Picture]
From:yoginka
Date:Июль 18, 2014 08:46 pm
(Link)
Да, помню это дерево с ветками.
Разработано LiveJournal.com