eslitak (eslitak) wrote,
eslitak
eslitak

Category:

Квантовый ликбез 24. Квантовые гейты.

Предыдущие посты

Рассуждая о классических компьютерах, мы говорили, что любое, сколь угодно сложное вычисление, может быть организовано с помощью ограниченного базисного набора элементарных операций - гейтов. То же самое справедливо и для квантовых вычислений. С некоторыми квантовыми гейтами мы уже бегло ознакомились, когда изучали квантовую телепортацию. Теперь давайте немного эту информацию систематизируем.


Начнём с однокубитных операций. Классический бит может находиться в состоянии либо «0», либо «1», третьего, как говориться, не дано. Стало быть, единственное, что с битом можно сделать, это изменить его состояние на противоположное.

Маленькое уточнение: на самом деле можно ещё принудительно установить бит в состояние «0» или «1». Это операции записи, мы их будем применять, конечно, но в число гейтов включать не будем. Также оставим за скобками вариант, формально эквивалентный применению «единичного» гейта, а на практике заключающийся в том, чтобы не делать с битом или кубитом ничего.

Итак, с учётом уточнения, существует только один однобитный гейт – «NOT».

Кубит может находится в квантовой суперпозиции групп витруальных вариантов |0〉 и |1〉:



«Доля» каждой из групп определяется двумя комплексными числами - амплитудами вероятности a0 и a1. Эти числа могут быть, в принципе, любыми. Значит, для кубита количество возможных квантовых состояний вида |ψ〉 бесконечно.

Также бесконечно количество разрешенных однокубитных операций, которые, по сути дела, просто определённым образом изменяют значения амплитуд вероятности a0 и a1. При моделировании квантового компьютера будем считать, что мы умеем совершать над кубитом всевозможные однокубитные операции. Единственное ограничение, накладываемое квантовой физикой на такие операции, это требование унитарности. Глубого копать в сторону понятия унитарности нам резона нет, но заметим, что унитарность обеспечивается обратимыми операциями, которые мы изучали в предыдущей части. Для более продвинутых скажем, что унитарные операции математически идентичны повороту вектора квантового состояния в условном пространстве, без изменения длины (модуля) вектора (смотрим часть 17-4).

На практике операции реализуются путём «дозированных» физических воздействий на кубит, типа тех, что мы изучали в части 16. Любое такое воздействие, напомню, описывается матрицей следующего вида:



Два числа в верхней строке показывают, как воздействие-операция изменяет группу |0〉. Два числа в нижней строке показывают, как изменяется группа |1〉. То есть, в общем случае для описания любой однокубитной операции достаточно этого набора из четырёх чисел. Для удобства некоторым, наиболее часто используемым операциям и их матрицам, присвоены особые обозначения.

Например, гейт [X], он же - квантовый «NOT» – гейт, описывается вот такой матрицей:



Давайте ещё раз постмотрим, как гейт [X] воздействует на состояние |ψ〉 (ф. 24.1.):



В результате воздействия [X] группы |0〉 и |1〉 «обменялись» амплитудами вероятности. Или можно взглянуть на это дело в другом ракурсе: воздействие [X] превратило группу |0〉 в группу |1〉, а группу |1〉, наоборот, в группу |0〉. Для полной ясности изобразим действие гейта [X] на следующей диаграмме:



Если забыли, как надо понимать такие диаграммы, посмотрите ещё раз часть 21-2.

В дальнейшем нам предстоит рисовать квантовые вычислительные схемы. Они по виду будут аналогичны классическим схемам (см. часть 22). В частности, однокубитные операции будем изображать в виде прямоугольников с символом операции внутри. Как показано на том же рисунке 24.1.

Ещё одна важная однокубитная операция - гейт Адамара [H]. Вот матрица это гейта:



Особенность этого гейта заключается в том, что он, с одной стороны, превращает определённые состояния кубита |0〉 и |1〉 в состояния с максимальной степенью неопределённости:



А с другой стороны, наоборот, превращает максимально неопределённое состояние в определённое, например:



Воздействие гейта [H] на произвольное однокубитное состояние типа (ф. 24.1) показано на следующей диаграмме:



Нужны, наверное, пояснения. На первом рисунке (считаем слева на право) показано исходное состояние кубита. Второй и последующий рисунки – состояние после воздействия [H]. На третьем рисунке области диаграммы упорядочены. Также заштрихованы «кусочки» группы |1〉 с положительным и отрицательным знаком, которые в силу суперпозиции «съедают» друг друга. На четвёртом рисунке состояние кубита показано уже без этих кусочков. Ну а пятый рисунок просто масштабирован по высоте, чтобы вы могли наглядно сравнить исходное состояние и то, что получилось в результате воздействия.

Позже нам потребуются ещё кое-какие однокубитные гейты, мы их рассмотрим по мере необходимости.

Из двухкубитных операций мы задействуем всего одну: гейт «CNOT». Если матрица однобитной операции имеет размерность 2х2 (четыре числа), то матрица двухкубитной операции имеет уже размерность 4х4 (16 чисел). Но физический смысл чисел в матрице тот же: каждая строка матрицы показывает, в какой пропорции воздействие «расщепляет» то или иное базисное двухкубитное состояние. Матрица гейта «CNOT» выглядит так:



При этом подразумевается, что:

  - первая (верхняя) строка показывает, как воздействие расщепляет базисное состояние |00〉;
  - вторая строка – расщепление базисного состояния |01〉;
  - третья строка – расщепление базисного состояния |10〉;
  - четвёртая строка – расщепление базисного состояния |11〉.

Логика работы гейта «CNOT» заключается в следующем. Операция никак «не затрагивает» группы |00〉 и |01〉, те, где контролирующий кубит равен нулю. А в тех группах, в которых контролирующий кубит равен единице – |10〉 и |11〉 – операция инвертирует значение рабочего бита. Иными словами, гейт «CNOT» превращает базисное состояние |10〉 в состояние |11〉 и наоборот.

На квантовых схемах гейт «CNOT» изображается так же, как и на классических:



В такой конфигурации кубит №1 - контролирующий, кубит №2 - «рабочий».

Разбирая классический «CNOT» мы говорили, что состояние контролирующего бита в результате операции не изменяется. Так вот, обращаю особое внимание на то, в квантовом случае ЭТО НЕ ТАК. Точнее, не всегда так. Смотрите, допустим, у нас имеется два кубита, «A» и «B», в следующих чистых состояниях:



Кубиты не запутаны друг с другом. Сепарабельное двухкубитное состояние системы |AB〉 мы можем записать как произведение однокубитных состояний |A〉 и |B〉:



Теперь применим к этим двум кубитам операцию «CNOT». Пусть при этом кубит «А» будет контрольным, кубит «B» – рабочим. В результате операции получаем:



Это уже не сепарабельное, а самое что ни на есть запутанное состояние. Таким образом мы запутали два «чистых» кубита в единую двухкубитную систему. Состояние и рабочего, и контролирующего кубита изменились - были чистыми, стали смешанными.

По сложившейся традидии изобразим работу гейта «CNOT» над состоянием (ф. 24.2) в виде диаграммы:



На правой диаграмме символы «А» и «B» обведены овальчиком – это чтобы показать, что кубиты запутались.

Однокубитные гейты в купе с двухкубитным гейтом «CNOT» уже составляют базис операций, достаточный для организации любых квантовых вычислений с кубитовым регистром какого угодно размера. Однако мы будем использовать при построении квантового компьютера ещё трёхкубитный гейт «CCNOT», который называют ещё «гейт Троффоли». Можно было бы обойтись и без него, но тогда вычислительные схемы будут выглядеть более громоздко и менее «усвояемо».

Матрица трёхкубитной операции «CCNOT» имеет размерность 8х8 (64 числа):



В гейте «CCNOT» два контролирующих кубита и один рабочий. Операция изменяет только те базисные состояния, где оба контролирующих бита равны единице. А именно, заставляет базисные состояния |110〉 и |111〉 «обменяться» амплитудами вероятности (смотрите две нижнох строки матрицы). Остальные шесть базисных состояний гейт «CCNOT» оставляет неизменными.

На схемах гейт «CCNOT» изображают так:



Здесь кубиты №1 и №2 – контролирующие, кубит №3 – рабочий.

Посмотрим, как гейт «CCNOT» действует на некоторое трёхкубитное состояние:



В следующей части мы уже начнём разбираться, как из этих и прочих квантовых гейтов собрать квантовый компьютер.

Продолжение
Tags: квантовый ликбез, физика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 9 comments