Теперь попробуем связать вместе квантовые состояния одиночных частиц и системные квантовые состояния.
Пусть у нас имеется два кубита, назовём их «A» и «B», в следующих чистых квантовых состояниях:
Считаем, что кубиты A и B не запутаны. То есть, результаты измерения кубита «A» не влияют на результаты измерения кубита «B». Системное квантовое состояние |AB〉 этой пары кубитов легко получается перемножением одиночных состояний:
Эта математическая операция имеет вполне прозрачный физический смысл. Вероятность сложного (двойного) события равна произведению вероятностей составляющих его одиночных событий. Например, вероятность получить результат 〈00〉 для пары кубитов равна произведению вероятностей получить результат 〈0〉 для каждого кубита в отдельности. Пусть в формуле (ф.20.7) фигурируют не вероятности, а амплитуды вероятностей, это сути дела не меняет: амплитуда вероятности группы |00〉 равна произведению амплитуды вероятности группы |0〉 кубита A и амплитуды вероятности группы |0〉 кубита B.
В качестве конкретного примера с числами можем рассмотреть следующую ситуацию. Пусть кубиты находятся в следующих чистых состояниях:
Тогда системное чистое квантовое состояние пары кубитов будет выглядеть так:
Вот, пока мы имеем дело с независимыми друг от друга кубитами – всё просто. Теперь разберём ситуацию с запутанными кубитами. Тут мы должны зайти с другой стороны и расписать сначала системное состояние. Пусть у нас есть скоррелированная пара кубитов типа той, что мы рассматривали в 13-й части. Конкретно: если измерение одного кубита даёт результат 〈0〉, то измерение другого непременно даст результат 〈0〉. И наоброт – если первый 〈1〉, тогда и второй 〈1〉. То есть, по двум измерениям в совокупности реализуемы только виртуальные варианты групп |00〉 и |11〉. Это означает, что амплитуды вероятности групп |01〉 и |10〉 равны нулю. Предположим, что результаты 〈00〉 и 〈11〉 равновероятны. Системное состояние, приводящее к таким результатм, может выглядеть, например, вот таким образом:
А теперь спросим себя: можно ли представить такое чистое системное состояние как произведение двух чистых состояний отдельных кубитов? Или спросим по другому: существуют ли такие чистые квантовые состояния кубитов |A〉 и |B〉, чтобы системное квантовое состояние |AB〉 пары кубитов соответствовало формуле (ф. 20.11)? Ответ: нет. Если не верите, попробуйте сами подобрать такие числа a0, a1, b0, b1 чтобы произведение
(a0|0〉 + a1|1〉)*(b0|0〉 + b1|1〉)
давало формулу (ф. 20.11). Уверяю, у вас это не получится. Следовательно, автономное квантовое состояние запутанного кубита не может быть чистым. Оно, как принято говорить, смешанное.
В оставшемся куске этой части ликбеза поясняется разница между чистым и смешанным квантовым состоянием. «Для порядка», чтобы накрыть концепцией виртуальных вариантов и этот аспект квантовой механики. Для дальнейшего продвижения по ликбезу знание таких тонкостей, пожалуй, необязательно. Поэтому, если нижеследующий материал покажется кому-то чрезмерно сложным – ничего страшного, осмыслите потом. Двигаться дальше это не помешает.
В 19 части мы толковали о том, что для чистого состояния можно подобрать такой измерительный базис, в котором результат измерения будет предопределён. Для смешанного состояния такой «базис полного предопределения» подобрать нельзя.
Пусть, например, у нас есть достаточно большое количество пар кубитов в состоянии, соответствующем формуле (ф.20.11). Будем брать от каждой пары кубиты «A» и измерять их состояние. Сначала поработаем в базисе {0} и увидим, что результаты 50/50: примерно в половине измерений получается результат 〈0〉, в половине – 〈1〉.
Теперь поменяем базис, например, если мы измеряем спин, повернём измерительный прибор на какой-нибудь угол. Проведём серию измерений кубитов «A» в этом новом базисе. Результат не изменится: всё те же 50/50. То же самое для любого другого базиса. Для чистого состояния кубита, как вы помните (см. часть 19) была совсем другая картина: при повороте базиса распределение результатов изменялось. В принципе, для смешанных состояниий такое тоже возможно. Всё зависит, так сказать, от "степени смешивания" или, по другому, от степени запутанности отдельного кубита с другими частями квантовой системы. Мы просто выбрали для анализа максимально запутанное состояние (ф.20.11), для которого распределение результатов 50/50 для одного кубита актуально в любом измерительном базисе. Но в любом случае для смешанного состояния невозможно подобрать базис, в котором результат был бы однозначно предопределён.
Давайте разберёмся теперь, как понимать смешанное состояние в концепции виртуальных вариантов. Основной принцип тут такой: суперпозиция квантовых векторов системных виртуальных вариантов в общем случае "отменяет" суперпозицию квантовых векторов автономных вариантов. Частный случай, когда не отменяет – формулы (ф. 20.7) и (ф. 20.10), например, системные состояния пары незапутанных кубитов. Если же кубиты запутаны, как, например, в состоянии (ф. 20.11), то действие третьего постулата (см. часть 5) распространяется теперь на всю систему в целом, но не на каждый кубит в отдельности.
В качестве аналогии можно привести действие закона сохранения импульса. Он работает только для замкнутой, ни с чем не взаимодействующей физической системы. Например, свободно движущееся тело закону сохранения импульса подчиняется. Но если на тело действует какая-то внешняя сила, например, гравитация другого тела, то в этом случае закон сохранения импульса действует только для обеих тел в совокупности, но не для каждого тела в отдельности. Собственный импульс отдельного тела теперь изменяется, но импульс всей системы в целом остаётся постоянным. Аналогично работает третий постулат для квантовых состояний. Для чистого квантового состояния действует суперпозиция виртуальных вариантов, приводящих к одному и тому же результату. А для запутанных состояний суперпозиция действует только на уровне всей системы в целом. На уровне же отдельных частей запутанной квантовой системы суперпозиции виртуальных вариантов уже нет, есть их «простая» смесь.
И ещё одну вещь хотелось бы отметить. В частях 16 и 17 мы исследовали унитарные воздействия – воздействия без измерений – на чистое квантовое состояние одиночной частицы – кубита. Было показано, что с помощью точно подобранных воздействий можно привести кубит в любое желаемое квантовое состояние. Пусть мы и не можем непосредственно измерить амплитуды вероятности a0, a1 (ф. 20.8), мы имеем, тем не менее, полный контроль над ними. В смысле, если нам известны амплитуды вероятности до воздействия, то мы можем изменить их так, как нам требуется. Всё это верно и для многокубитных системных состояний: ими также можно управлять с помощью дозированных унитарных воздействий. Например, мы можем превратить состояние (ф. 20.10) в состояние (ф. 20.11). Конечно, здесь потребуются более сложные воздействия, чем в однокубитном случае. И матрица воздействия будет более громоздкой. В частности, для двухкубитного состояния понадобится матрица размером 4х4. Для трёхкубитного состояния – матрица 8х8 и так далее. Тем не менее, все эти математические и технические сложности решаемы. Возможность целенаправленного управления чистым квантовым состоянием является ключевой для реализации квантового компьютера, поэтому заостряю на ней ваше внимание.
На этом мы заканчиваем знакомство с теоретическими основами квантовой механики и переходим, так сказать, к практике – квантовым вычислениям. У кого остались неясности по теории – задавайте ваши вопросы.
Продолжение