?

Log in

No account? Create an account

eslitak

Previous Entry Поделиться Next Entry
01:27 am: Квантовый ликбез - 17-4. Вектор квантового состояния
Предыдущие посты

Теперь нам не помешает перекинуть мостик между этими рассуждениями и теми, что обычно встречаются в учебных и научно-популярных наставлениях по квантовой механике. Там фигурирует такое понятие как «вектор квантового состояния». Речь, на самом деле, о том, что для описания поведения квантовых состояний используется математика, почти полностью аналогичная векторной алгебре. То есть, вектор квантового состояния – это не более чем удобная математическая модель. 

Мы тут говорили, что воздействие «расщепляет» группы виртуальных вариантов, а в традиционном изложении квантовых премудростей толкуют о том, что воздействие поворачивает вектор квантового состояния. Как мы сейчас убедимся, между этими двумя подходами нет никакого противоречия. Если рассуждать на абстрактном математическом языке, то вектор – это набор определённым образом упорядоченных чисел. Например, если мы говорим о векторе на обычной (декартовой) плоскости, то это всего два числа. Взгляните на рисунок 17.7.



Да, когда про вектора рассказывают в школе, там применяют для них другие обозначения, типа буквы с чёрточкой над ней. Но мы, дабы не множить сущностей, будем обозначать вектора так, как принято в квантовой механике. Так вот, вектор |A легко проецируется на оси координат,  и эти проекции тоже являются векторами |Axи|Ay. Разумеется, вектор является суммой собственных проекций, поэтому справедливо следующее:

|A = |Ax〉 + |Ay (ф. 17.10).

Дальше, никто нам не мешает ввести ещё два вектора определённой длины, параллельных координатным осям. На рисунке 17.8 они показаны зелёным цветов и обозначены как  |xи |y, прошу не путать с обозначениями координатных осей.




Эти вектора, |xи |y, мы примем за базисные. Что касается длины базисных векторов, её можно выбрать произвольно, но удобнее брать единичную длину. Тогда можно записать:

|Ax〉 = ax|x
|Ay〉 = ay|y

Где ax – это действительное число, выражающее соотношение длин вектора |Ax и базисного вектора |x, ay – это, соответственно, соотношение длин |Ay и |y. Подставляя это в (ф. 17.10), получаем:

|Aax|x〉 + ay|y (ф. 17.11).

ax, ay – это и есть те самые два заветных числа, которые определяют вектор |A. Можно сказать так: эти числа определяют, в какой пропорции вектор |A содержит базисные вектора |xи |y. Заметим, что в этом базисе можно выразить абсолютно любой вектор, лежащий на декартовой плоскости, при этом коэффициенты ax, ay (эти числа называют ещё - координаты вектора) будут, разумеется, для каждого вектора свои.          

Теперь соотнесите всё это с тем, о чём мы рассуждали выше. Например, если мы сравним выражения (ф. 17.11) и (ф. 17.1), то увидим почти полную аналогию. Почти – потому что вектора квантовых состояний выражаются в комплексных числах и «существуют» не в декартовом, а в особенном пространстве, именуемом пространством Гильберта. Тем не менее, вектора квантовых состояний подчиняются практически тем же математическим правилам, что и обычные вектора. Их можно умножать на число, складывать, поворачивать в пространстве. Опять же, по аналогии с традиционными векторами, вектор любого квантового состояния…

Отставить, не любого. Вектором можно представить только так называемые чистые квантовые состояния. Бывают ещё смешанные состояния, которые вектором не опишешь. О их мы поговорим ещё, а пока рассматриваем только чистые состояния.

Так вот, вектор любого ЧИСТОГО квантового состояния может быть представлен в виде суммы векторов базисных состояний, взятых в определённых пропорциях. В принципе, за базисные можно принять любые два различных квантовых состояния, но в большинстве ситуаций за базисные выбираются те состояния, которые дают однозначный результат измерения. В случаях, которые мы тут разбирали, это состояния |0+ и |0.

Надо отметить одну особенность векторов квантовых состояний, которая сильно облегчает жизнь при квантовых расчётах: модуль (длина) вектора
квантового состояния всегда равняется единице.  


Теперь о «расщеплении» состояний при воздействии. Продолжая аналогию с векторами, можно сказать, что изменение состояния при воздействии аналогично повороту вектора в пространстве. Продемонстрируем это.

На рисунке 17.9 показано, как влияет на базисные вектора (сейчас мы говорим про обычные вектора на декартовой плоскости) поворот не угол 𝛗 по часовой стрелке.



Глядя на картинки, запишем:

[𝛗]|x𝛗xx|x〉 + 𝛗xy|y
[𝛗]|y𝛗yx|x〉 + 𝛗yy|y

Пожалуйста, наблюдаем «расщепление» аналогичное тому, которое мы наблюдали при воздействии магнитного поля на базисные квантовые состояния |0+ и |0, сравните с (ф. 17.2).

Четыре коэффициента «расщепления» образуют матрицу поворота:



В данном случае коэффициенты расщепления, кстати, легко вычислить из элементарной тригонометрии, и вот что получится:



Но сейчас не об этом. Сейчас о том, что зная матрицу поворота, то есть, зная то, как поворот [𝛗] действует на базисные вектора, мы легко сможем вычислить действие этого поворота на произвольный вектор. Смотрите, допустим у нас есть вектор:

|Aax|x〉 + ay|y

Что произойдёт, если мы повернём этот вектор на угол 𝛗 по часовой стрелке?  Чтобы узнать это, действуем так же, как мы действовали при вычислении квантового состояния |SW1W1, вернитесь к (ф. 17.6): 

[𝛗]|A[𝛗](ax|x〉) + [𝛗](ay|y〉) = ax([𝛗]|x〉) + ay([𝛗]|y〉) =
= ax (𝛗xx|x〉 + 𝛗xy|y〉) + ay(𝛗yx|x〉 + 𝛗yy|y〉) =
= ax 𝛗xx|x〉 + ax 𝛗xy|y〉 + ay𝛗yx|x〉 + ay𝛗yy|y〉 =
= (ax𝛗xx  + ay𝛗yx)|x〉 + (ax𝛗xy + ay𝛗yy)|y〉

Вот вам векторная алгебра «на пальцах». Как уже сказано, квантовые состояния при воздействиях ведут себя так же и подчиняются той же математике. Правда, с обычными векторами вся эта «поворотная» математика достаточно наглядна (надеюсь мне удалось это показать). С векторами квантового состояния такой наглядности нет, поскольку невозможно представить себе даже двухмерное комплексное пространство, не говоря уже о многомерных. Представить нельзя, но вычислить можно, чем мы и занимались в этой части.

В общем, я предлагаю так: физически представляем себе всё эту «кухню» с воздействиями всё-таки как расщепление – воссоединение групп виртуальных вариантов. А векторную математику используем как подспорье для точного вычисления того, как именно они расщепляются – воссоединяются.      

Проведём небольшую систематизацию всех типов векторов, которые мы вводили по ходу ликбеза.

1. Квантовый вектор отдельного виртуального варианта. Это вектор в условном пространстве типа «комплексная плоскость» или, если угодно, просто комплексное число. По сути дела, координатами квантового вектора на комплексной плоскости являются реальная и мнимая части комплексного числа.  Мы определились, что модули (длины) квантовых векторов всех виртуальных вариантов равны между собой и равны некой условной единице.

2. Амплитуда вероятности группы – векторная сумма квантовых векторов всех виртуальных вариантов группы. Тип пространства этого вектора тот же самый, что и у квантовых векторов виртуальных вариантов группы – комплексная плоскость. Кстати говоря, разные группы вариантов существуют в разных пространствах, как единица и шестёрка игральной кости существуют на разных плоскостях кубика. Именно поэтому квантовые вектора виртуальных вариантов, относящихся к разным группам, не вступают в состояние суперпозиции.

3. Вектор квантового состояния, мы его изучали в этой части. Это уже другой тип пространства, а именно – пространство Гильберта. В обычном декартовом пространстве, как вы знаете, координаты точки, а значит и координаты векторов, задаются действительными числами. А в гильбертовом пространстве координаты - это комплексные числа. В частности, координатами вектора состояния являются амплитуды вероятности базисных квантовых состояний. Поскольку вектор квантового состояния является суперпозицией векторов базисных состояний, то вектора предыдущего уровня – амплитуды вероятности – участвуют в этой суперпозиции исключительно как коэффициенты, определяющие, в какой пропорции (комплексной, в общем случае) то или иное базисное состояние входит в рассматриваемое квантовое состояние.  

Всё, больше никаких типов векторов мы вводить не будем, этого достаточно.

В следующей части мы немного отдохнём от математики и разберём несколько знаменитых квантовых опытов с высоты обретённых знаний. А по этой части мне хотелось бы знать, понятно ли я изложил материал? Если неясностей тут для вас нет – дальше всё пойдёт, как по маслу.
 

Продолжение  

Tags: ,

Comments

[User Picture]
From:leonidlau212
Date:Январь 4, 2014 01:27 pm
(Link)
Подбор текстов хороший удачный, добавлю сайт в закладки.
[User Picture]
From:yoginka
Date:Февраль 17, 2014 12:11 am
(Link)
//Теперь нам не помешает перекинуть мостик между этими рассуждениями и теми, что обычно встречаются в учебных и научно-популярных наставлениях по квантовой механике. //
- Вот именно это я хотела сделать с самого начала. Но пока не очень получается.

//В обычном декартовом пространстве, как вы знаете, координаты точки, а значит и координаты векторов, задаются действительными числами. А в гильбертовом пространстве координаты - это комплексные числа. //
- Нет, это некорректное утверждение. Гильбертово пространство может быть и над полем действительных чисел. "Гильбертовость" не в его комплексности, а в совсем другом свойстве заключается. Однако, верно то, что в квантовой механике рассматриваются именно пространства над полем комплексных чисел. Лучше бы эту фразу перестроить примерно так:
//В обычном декартовом пространстве, как вы знаете, координаты точки, а значит и координаты векторов, задаются действительными числами. А в гильбертовых пространствах, рассматриваемых в квантовой механике, координаты - это комплексные числа.//

[User Picture]
From:urjuk
Date:Июль 23, 2015 06:19 pm
(Link)
На рисунке 17.9........поворот не угол 𝛗 (с)
=на угол=
[User Picture]
From:wgay
Date:Октябрь 26, 2017 07:47 am
(Link)
Маленькая опечатка. В самом последнем равенстве, во второй скобке лишний !y .

[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 26, 2017 06:29 pm
(Link)
Пофиксил. Спасибо!
Разработано LiveJournal.com