eslitak (eslitak) wrote,
eslitak
eslitak

Category:

Квантовый ликбез - 17-4. Вектор квантового состояния

Предыдущие посты

Теперь нам не помешает перекинуть мостик между этими рассуждениями и теми, что обычно встречаются в учебных и научно-популярных наставлениях по квантовой механике. Там фигурирует такое понятие как «вектор квантового состояния». Речь, на самом деле, о том, что для описания поведения квантовых состояний используется математика, почти полностью аналогичная векторной алгебре. То есть, вектор квантового состояния – это не более чем удобная математическая модель. 

Мы тут говорили, что воздействие «расщепляет» группы виртуальных вариантов, а в традиционном изложении квантовых премудростей толкуют о том, что воздействие поворачивает вектор квантового состояния. Как мы сейчас убедимся, между этими двумя подходами нет никакого противоречия. Если рассуждать на абстрактном математическом языке, то вектор – это набор определённым образом упорядоченных чисел. Например, если мы говорим о векторе на обычной (декартовой) плоскости, то это всего два числа. Взгляните на рисунок 17.7.



Да, когда про вектора рассказывают в школе, там применяют для них другие обозначения, типа буквы с чёрточкой над ней. Но мы, дабы не множить сущностей, будем обозначать вектора так, как принято в квантовой механике. Так вот, вектор |A легко проецируется на оси координат,  и эти проекции тоже являются векторами |Axи|Ay. Разумеется, вектор является суммой собственных проекций, поэтому справедливо следующее:

|A = |Ax〉 + |Ay (ф. 17.10).

Дальше, никто нам не мешает ввести ещё два вектора определённой длины, параллельных координатным осям. На рисунке 17.8 они показаны зелёным цветов и обозначены как  |xи |y, прошу не путать с обозначениями координатных осей.




Эти вектора, |xи |y, мы примем за базисные. Что касается длины базисных векторов, её можно выбрать произвольно, но удобнее брать единичную длину. Тогда можно записать:

|Ax〉 = ax|x
|Ay〉 = ay|y

Где ax – это действительное число, выражающее соотношение длин вектора |Ax и базисного вектора |x, ay – это, соответственно, соотношение длин |Ay и |y. Подставляя это в (ф. 17.10), получаем:

|Aax|x〉 + ay|y (ф. 17.11).

ax, ay – это и есть те самые два заветных числа, которые определяют вектор |A. Можно сказать так: эти числа определяют, в какой пропорции вектор |A содержит базисные вектора |xи |y. Заметим, что в этом базисе можно выразить абсолютно любой вектор, лежащий на декартовой плоскости, при этом коэффициенты ax, ay (эти числа называют ещё - координаты вектора) будут, разумеется, для каждого вектора свои.          

Теперь соотнесите всё это с тем, о чём мы рассуждали выше. Например, если мы сравним выражения (ф. 17.11) и (ф. 17.1), то увидим почти полную аналогию. Почти – потому что вектора квантовых состояний выражаются в комплексных числах и «существуют» не в декартовом, а в особенном пространстве, именуемом пространством Гильберта. Тем не менее, вектора квантовых состояний подчиняются практически тем же математическим правилам, что и обычные вектора. Их можно умножать на число, складывать, поворачивать в пространстве. Опять же, по аналогии с традиционными векторами, вектор любого квантового состояния…

Отставить, не любого. Вектором можно представить только так называемые чистые квантовые состояния. Бывают ещё смешанные состояния, которые вектором не опишешь. О их мы поговорим ещё, а пока рассматриваем только чистые состояния.

Так вот, вектор любого ЧИСТОГО квантового состояния может быть представлен в виде суммы векторов базисных состояний, взятых в определённых пропорциях. В принципе, за базисные можно принять любые два различных квантовых состояния, но в большинстве ситуаций за базисные выбираются те состояния, которые дают однозначный результат измерения. В случаях, которые мы тут разбирали, это состояния |0+ и |0.

Надо отметить одну особенность векторов квантовых состояний, которая сильно облегчает жизнь при квантовых расчётах: модуль (длина) вектора
квантового состояния всегда равняется единице.  


Теперь о «расщеплении» состояний при воздействии. Продолжая аналогию с векторами, можно сказать, что изменение состояния при воздействии аналогично повороту вектора в пространстве. Продемонстрируем это.

На рисунке 17.9 показано, как влияет на базисные вектора (сейчас мы говорим про обычные вектора на декартовой плоскости) поворот не угол 𝛗 по часовой стрелке.



Глядя на картинки, запишем:

[𝛗]|x𝛗xx|x〉 + 𝛗xy|y
[𝛗]|y𝛗yx|x〉 + 𝛗yy|y

Пожалуйста, наблюдаем «расщепление» аналогичное тому, которое мы наблюдали при воздействии магнитного поля на базисные квантовые состояния |0+ и |0, сравните с (ф. 17.2).

Четыре коэффициента «расщепления» образуют матрицу поворота:



В данном случае коэффициенты расщепления, кстати, легко вычислить из элементарной тригонометрии, и вот что получится:



Но сейчас не об этом. Сейчас о том, что зная матрицу поворота, то есть, зная то, как поворот [𝛗] действует на базисные вектора, мы легко сможем вычислить действие этого поворота на произвольный вектор. Смотрите, допустим у нас есть вектор:

|Aax|x〉 + ay|y

Что произойдёт, если мы повернём этот вектор на угол 𝛗 по часовой стрелке?  Чтобы узнать это, действуем так же, как мы действовали при вычислении квантового состояния |SW1W1, вернитесь к (ф. 17.6): 

[𝛗]|A[𝛗](ax|x〉) + [𝛗](ay|y〉) = ax([𝛗]|x〉) + ay([𝛗]|y〉) =
= ax (𝛗xx|x〉 + 𝛗xy|y〉) + ay(𝛗yx|x〉 + 𝛗yy|y〉) =
= ax 𝛗xx|x〉 + ax 𝛗xy|y〉 + ay𝛗yx|x〉 + ay𝛗yy|y〉 =
= (ax𝛗xx  + ay𝛗yx)|x〉 + (ax𝛗xy + ay𝛗yy)|y〉

Вот вам векторная алгебра «на пальцах». Как уже сказано, квантовые состояния при воздействиях ведут себя так же и подчиняются той же математике. Правда, с обычными векторами вся эта «поворотная» математика достаточно наглядна (надеюсь мне удалось это показать). С векторами квантового состояния такой наглядности нет, поскольку невозможно представить себе даже двухмерное комплексное пространство, не говоря уже о многомерных. Представить нельзя, но вычислить можно, чем мы и занимались в этой части.

В общем, я предлагаю так: физически представляем себе всё эту «кухню» с воздействиями всё-таки как расщепление – воссоединение групп виртуальных вариантов. А векторную математику используем как подспорье для точного вычисления того, как именно они расщепляются – воссоединяются.      

Проведём небольшую систематизацию всех типов векторов, которые мы вводили по ходу ликбеза.

1. Квантовый вектор отдельного виртуального варианта. Это вектор в условном пространстве типа «комплексная плоскость» или, если угодно, просто комплексное число. По сути дела, координатами квантового вектора на комплексной плоскости являются реальная и мнимая части комплексного числа.  Мы определились, что модули (длины) квантовых векторов всех виртуальных вариантов равны между собой и равны некой условной единице.

2. Амплитуда вероятности группы – векторная сумма квантовых векторов всех виртуальных вариантов группы. Тип пространства этого вектора тот же самый, что и у квантовых векторов виртуальных вариантов группы – комплексная плоскость. Кстати говоря, разные группы вариантов существуют в разных пространствах, как единица и шестёрка игральной кости существуют на разных плоскостях кубика. Именно поэтому квантовые вектора виртуальных вариантов, относящихся к разным группам, не вступают в состояние суперпозиции.

3. Вектор квантового состояния, мы его изучали в этой части. Это уже другой тип пространства, а именно – пространство Гильберта. В обычном декартовом пространстве, как вы знаете, координаты точки, а значит и координаты векторов, задаются действительными числами. А в гильбертовом пространстве координаты - это комплексные числа. В частности, координатами вектора состояния являются амплитуды вероятности базисных квантовых состояний. Поскольку вектор квантового состояния является суперпозицией векторов базисных состояний, то вектора предыдущего уровня – амплитуды вероятности – участвуют в этой суперпозиции исключительно как коэффициенты, определяющие, в какой пропорции (комплексной, в общем случае) то или иное базисное состояние входит в рассматриваемое квантовое состояние.  

Всё, больше никаких типов векторов мы вводить не будем, этого достаточно.

В следующей части мы немного отдохнём от математики и разберём несколько знаменитых квантовых опытов с высоты обретённых знаний. А по этой части мне хотелось бы знать, понятно ли я изложил материал? Если неясностей тут для вас нет – дальше всё пойдёт, как по маслу.
 

Продолжение  
Tags: квантовый ликбез, физика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 7 comments