Предыдущие посты
Вынырнули? Вдохнули? Ныряем снова.
Но мы пока не измеряем, мы вновь подвергаем частицу воздействию [W1]. Эту операцию мы можем расписать так:
Знак равенства и многоточие в конце формулы означает, что мы ещё продолжим эту цепочку. В разрывах цепочки я буду подробно комментировать совершаемые действия, те, кому и они и без этого понятны, потерпите, пожалуйста. Так вот, первым действием мы просто расписали состояние |SW1〉 согласно формуле (ф. 17.5). Продолжаем цепочку:
С математической точки зрения мы раскрыли скобки. А с физической – мы вправе это делать, потому что воздействию подвергаются обе реализуемые группы состояния . И конечно же, каждая группа состояния расщепляется в пропорции, заданной матрицей воздействия [W1]. В итоге получается вот такая смесь виртуальных вариантов:
Внутри левых скобок – результат воздействия [W1] на группу |0+〉. Внутри правых скобок – результат воздействия [W1] на группу |0–〉. Теперь просто раскроем скобки согласно примитивным арифметическим правилам:
Первый и третий члены этой смеси – разные куски одной группы виртуальных вариантов |0+〉. А раз одной группы, значит, эти варианты образуют суперпозицию, или попросту суммируются. Аналогично с вариантами, составляющими второй и четвёртый члены смеси, они также суммируются в группе |0–〉. Ну так давайте и просуммируем:
Вот мы и вычислили, как выглядит итоговый спин |SW1W1〉. Запишем результат этих вычислений компактно, без промежуточных выкладок:
Теперь легко видеть, что при измерении момента импульса вероятность получить 〈0+〉 будет составлять одну девятую, а вероятность получить 〈0–〉 – восемь девятых. Так оно и есть, мы в этом убедились в предыдущей части.
Для пущей наглядности изобразим эксперимент 17.1-а в виде цепочки диаграмм (рисунок 17.5):
Если кому-то ещё не до конца ясен смысл формул на рисунке, игнорируйте их и следите за текстом и синими стрелочками. Слева показано состояние |0+〉 до воздействий. Группа |0–〉 тут тоже присутствует, но её виртуальные варианты нереализуемы, они все в деструктивной суперпозиции. В центре – состояние после первого воздействия. Видим, как в результате проворота квантовых векторов исходное состояние |0+〉 «расщепилось» на две реализуемых группы |0+〉 и |0–〉, каждая со своей ненулевой амплитудой вероятности. Следующее воздействие «обрабатывает» уже обе эти группы, и каждая из них опять «расщепляется» на |0+〉 и |0–〉 в пропорциях, определяемых матрицей воздействия. Получается как бы четыре осколка, два из них образуют группу виртуальных вариантов |0+〉, остальные два – группу |0–〉. Все вектора одной группы, как и положено квантовыми постулатами, складываются (векторно, само собой) и образуют групповую амплитуду вероятности.
Смею надеяться, что всё изложено понятно, но для закрепления знаний давайте разберём вкратце также опыт 17.1-б. Условимся, что матрица воздействия [W2] имеет вот такой вид:
Как говорится, найдите два отличия от матрицы воздействия [W1].
Сначала мы подвергаем состояние |0+〉 воздействию [W2], и получаем вот что:
Сравните это с состоянием |SW1〉 (ф. 17.5). Очень похоже, разница только в знаке. По сложившейся традиции изобразим диаграмму полученного состояния.
С точки зрения возможных результатов измерения это состояния не отличается от того, что показано выше на рисунке 17.4. Если мы теперь измерим момент импульса, мы опять с вероятностью две третьих получим результат 〈0+〉 и с вероятностью одна третья – результат 〈0–〉. Фокус прост: вероятность того или иного исхода определяется отношением длин результирующих стрелочек и не зависит от их взаимных направлений.
А вот с точки зрения дальнейшей «судьбы» состояния, в смысле его реакции на одно и то же воздействие, взаимное направление стрелочек на диаграмме и, соответственно, знак в формуле имеет значение. Подвергаем состояние |SW2〉 воздействию [W1] и получаем следующее (пишем теперь цепочку без промежуточных комментариев):
Смотрите, после второго воздействия мы опять получили состояние |0+〉. Почему? Потому что виртуальные варианты, составляющие группу |0–〉, стали нереализуемы в результате деструктивной суперпозиции «осколков». А варианты группы |0+〉 образовали, наоборот, суперпозицию конструктивную, и увеличили вероятность результата 〈0+〉 до максимума, то есть, до единицы.
Завершение части 17
Tags: квантовый ликбез, физика
