?

Log in

No account? Create an account

eslitak

Previous Entry Поделиться Next Entry
12:43 am: Равенство бесконечностей
Друзья, кто хорошо шарит в математике, не откажите в маленькой консультации. Вопрос такой: одинаково ли количество элементов в равномощных бесконечных множествах?

Например, сравним множество целых чисел и множество чётных чисел. С одной стороны, между элементами этих множеств есть биекция - взаимно однозначное соответствие. Из этого, по идее, должно следовать, что количество элементов в обеих множествах одинаково.

Но с другой стороны кажется очевидным, что в "целом" множестве элементов вдвое больше, чем в "чётном". Да и не только кажется, это дело легко проверить мысленным экспериментом. Например, если мы будем случайно выбирать одно число из бесконечного множества целых чисел, то вероятность вытащить чётное число равна 0,5. Поскольку вероятность есть отношение числа благоприятных случаев к числу возможных случаев, мы заключаем, что благоприятных случаев (чётных чисел) вдвое меньше, чем возможных случаев (целых чисел). Значит действительно бесконечность целых чисел "вдвое больше", чем бесконечность чётных чисел.

Как математики разрешают сей парадокс? Очень прошу обстоятельного ответа и/или ссылки на таковой.    

Tags: ,

Comments

[User Picture]
From:xmyruj
Date:Октябрь 11, 2012 08:49 pm
(Link)
а невозможно с равной вероятностью выбрать любое целое число.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 12, 2012 08:16 am
(Link)
Об чём речь? Если из множества целых чисел случайно выбирать одно, то вероятность того, что будет выбрано целое число, равна единице
[User Picture]
From:xmyruj
Date:Октябрь 12, 2012 08:23 am
(Link)
Можно случайно выбрать целое число, но нельзя сделать это так, чтобы у каждого целого числа были равные шансы быть избранным.
Такая вот демократия )
[User Picture]
From:a_v_k_73
Date:Октябрь 11, 2012 08:55 pm
(Link)
да никак не решают. бесконечные множества бывают счетными и несчетными. счетные равномощны множеству натуральных, несчетные — любому интервалу вещественной оси. То, что иных нет (между ними), без привлечения дополнительных аксиом не доказывается. а бесконечность — она бесконечность и есть.

другое дело, что с привлечением топологии можно провести различие, условно говоря, между "плотными" и "разреженными" множествами, но это делается отнюдь не банальным пересчетом элементов.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 12, 2012 07:56 am
(Link)
Понятно, что количетсва элементов в бесконечных множествах посчитать нельзя. Вопрос в том, можно ли сравнивать равномощные множества, или они равны по определению? Вот, выяснилось, что они, как минимум, могут иметь разную плотность.
[User Picture]
From:a_v_k_73
Date:Октябрь 12, 2012 02:25 pm
(Link)
можно, но для этого наивная теория множеств неприменима. по этому поводу есть куча легкогуглимых парадоксов оной. нужна топология. всякие там хаусдорфовы размерности и прочая, прочая, прочая...
[User Picture]
From:jak40
Date:Октябрь 11, 2012 09:36 pm
(Link)
Количество элементов одинаково. В рассмотренном примере - счетная бесконечность.

"отношение числа благоприятных случаев к числу возможных случаев" здесь не работает, так как счетная бесконечеость - не число.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 12, 2012 07:57 am
(Link)
Если отношение не работает, но почему вероятности разные?
[User Picture]
From:jak40
Date:Октябрь 12, 2012 11:34 am
(Link)
Хороший вопрос :)
Предполагаю, что ответ на него не поддержит означенный "парадокс", но вспоминать тервер сейчас не готов :(
Подозреваю, что вероятности в общем случае определяются не количествами. Kак, например, вероятность заданного результата процесса, где считать поштучно нечего.
[User Picture]
From:falcao
Date:Октябрь 12, 2012 01:13 am
(Link)
Парадокса здесь вообще-то нет. Чётных чисел "столько же", сколько и натуральных -- это понятно. Однако тот факт, что их "около половины", отражается в некотором эксперименте, и этому надо придать более точный смысл.

Прежде всего, как здесь уже заметили, нельзя брать "случайное натуральное число" таким образом, чтобы все вероятности оказались равными. Но здесь вот какой подход является стандартным. Рассматриваем отрезок [1,N] и смотрим, сколько чисел из этого отрезка чётно (или принадлежит какому-то множеству A). Далее делим полученную величину на N и переходим к пределу при N стремящемся к бесконечности. Если такой предел существует, то он называется "плотностью" множества A как подмножества натурального ряда. Для чётных чисел плотность равна 1/2. А, скажем, для множества простых чисел плотность равна нулю.

Здесь оценивается не то, "сколько" чисел в A -- их "количество" всегда будет "одинаково" для бесконечного множества. Измеряется "густота" их расположения в натуральном ряду.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 12, 2012 08:15 am
(Link)
Спасибо, "Вы открыли мне глаза" :)

Получается, можно кратко резюмировать так: равномощные множества могут иметь различную плотность. Правильно я понимаю?

А утверждения типа "множество целых чисел вдвое больше, чем множество чётных чисел" являются скорее философскими, чем математиматическими. Потому что верность утверждения зависит от того, как мы определим понятия "больше" и "меньше" для бесконечных множеств.
[User Picture]
From:xmyruj
Date:Октябрь 12, 2012 08:33 am
(Link)
Понятия > и < определяются вполне строго.
Другое дело, что c=c/2, где c - мощность множества целых чисел
"Ко всем этим ''поцелуям" надо привыкнуть с детства" (С) :)
[User Picture]
From:falcao
Date:Октябрь 12, 2012 09:14 am
(Link)
Все бесконечные подмножества в Z равномощны, и по этой причине сравнивать их "количество" (понимаемое как мощность) совершенно неинтересно. А вот плотности бесконечных подмножеств (неизбежно равномощных), могут быть совершенно разными.

Утверждениям типа "чётных чисел примерно половина" может быть придан вполне точный смысл, если под этим понимать, что на любом отрезке [1,N] их около половины. Определять какие-то новые понятия здесь не надо: надо пользоваться тем, что уже есть (или можно "сконструировать").

Есть ещё вот какой подход. Если мы разрешаем любые биекции, то ничего интересного не получается, так как числа можно "раздвигать", делая множества очень "разреженными". Однако есть такие преобразования, при которых плотность меняться не должна: это обычные сдвиги. Поскольку всё множество Z есть объединение множества чётных и множества нечётных чисел, и эти два множества получаются сдвигом друг из друга, то их мы считаем "равнообъёмными" как бы "на самом деле", а тогда получается, что их "объёмы" составляют половину "объёма" всего множества, принимаемого за единицу.То есть и тех, и других как бы "половина".

Здесь ситуация в чём-то похожа на то, как измеряются площади фигур. Там соображения мощности тоже неприменимы (прямая и плоскость равномощны, квадраты разной площади тоже равномощны), но за основу берутся перемещения, которые сохраняют расстояния. Сдвиги на прямой -- это такие же перемещения. В этом случае уже не возникает парадоксов с "количеством", если мы находимся на прямой или плоскости.

А вот при выходе в трёхмерное пространство возможен т.н. "парадокс Банаха - Тарского", то есть там даже при помощи обычных перемещений фигур можно создать "парадоксальную" ситуацию, показывающую невозможность приписать всем фигурам сразу некий "объём".
From:fdo_eq
Date:Октябрь 12, 2012 04:47 am
(Link)
Это не настоящий парадокс, а просто игра с неточно определенными терминами. Термин "количество" не употребляется для бесконечных случаев. Термин "мощность" как раз и введен для такой ясности. Множества бывают равномощными. В конечном случае это означает равные количества элементов в равномощных множествах, в бесконечном случае такого термина нет - вот и не нужно его использовать. То же самое и в теории вероятностей. Вероятность равна отношению количества благоприятных исходов к общему числу исходов в случае конечного пространства событий. Если же такое пространство бесконечно, то слово количество не используется, возникает термин "мера".
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 12, 2012 08:16 am
(Link)
Тут пояснили, что кроме "мощности" есть ещё и "плотность".
Разработано LiveJournal.com