eslitak (eslitak) wrote,
eslitak
eslitak

Category:

Квантовый ликбез - 8. Нормировка амплитуд.

Предыдущие посты

Ещё маленько помучаю вас несложной математикой. Впрочем, кого математика вгоняет в тоску - можете смело пропустить эту часть. Просто имейте в ввиду, амплитуды вероятности результатов могут быть приведены к конечным значениям. И что впредь мы, говоря об амплитудах, будем подразумевать именно такие "нормированные" амплитуды.



Вообще говоря, все практические квантовые задачи связаны с вычислением вероятности того или результата. В третьем постулате утверждалось, что вероятность результата определяется амплитудой вероятности группы. Как вы, надеюсь, помните, амплитуда вероятности – это групповой квантовый вектор. Конкретнее: это сумма квантовых векторов всех виртуальных вариантов, составляющих данную группу. Длину квантового вектора виртуального варианта мы приняли за единицу. Значит, поскольку количество вариантов в группе бесконечно, то и амплитуда вероятности реализуемой группы имеет бесконечную длину. Но вероятность - величина не бесконечная, она всегда лежит в диапазоне от нуля до единицы включительно. Как же связать бесконечную по физической сути амплитуду вероятности с принципиально конечной вероятностью?

Так же, как мы поступали в третьей части, когда "играли в карты" с бесконечной колодой. Напомню, у нас в колоде бесконечное количество тузов и шестёрок. Но эти бесконечности не мешают нам вычислять вероятности вытащить ту или иную карту, если только мы знаем относительное количество тузов и шестёрок. Например, если на каждую шестёрку приходится два туза, то очевидно, что вероятность вытащить туза равна 2/3, а вероятность вытянуть шестёрку - 1/3. То есть, результат игры с бесконечной колодой такого типа аналогичен тому, как если бы мы "нормировали" колоду всего до трёх карт - два туза и одна шестёрка, и играли бы с этой "нормированной" колодой.

Аналогично и здесь: пользуемся тем, что бесконечные абсолютные значения амплитуд вероятности разных результатов нам не требуются, а нужны лишь их относительные значения. Только, если в случае с картами отношения вероятностей равно отношению количеств карт в колоде, то в случае с квантовыми вариантами зависимость между амплитудой вероятности и вероятностью не прямая, а квадратичная, о чём был четвёртый постулат. Поэтому здесь поступают следующим образом: приводят амплитуды вероятности всех групп к таким КОНЕЧНЫМ значениям, чтобы их отношение оставалось неизменным, а сумма их квадратов, то есть, сумма вероятностей всех возможных результатов, равнялась единице. Для пояснения разберём ещё раз пример из предыдущей части. Напоминаю, рассматривается квантовый опыт, в котором может реализоваться только один из двух результата: срабатывает детектор D1 или срабатывает детектор D2.

Cчитаем, что количество виртуальных вариантов в группах D1 и D2 одинаково. Но при этом:
- в группе D1 на каждые 5 отрицательных варианта приходится 1 положительный;
- в группе D2 на каждый 1 отрицательный вариант приходится 4 положительных.

Значит, амплитуды вероятности результатов D1 и D2 соотносятся как четыре к трём со знаком минус. Тогда вероятности результатов D1 и D2, согласно четвёртому постулату, соотносятся как шестнадцать к девяти. Учитывая тот факт, что сумма вероятностей всех возможных событий всегда равна единице, заключаем:

P[D1] = 0,64 - вероятность результата D1;
P[D2] = 0,36 - вероятность результата D2.

Стало быть, нормированные значения амплитуд будут следующими:

A[D1] = 0,8 - нормированная амплитуда результата D1;
A[D2] = + 0,6 - нормированная амплитуда результата D2.

Подробные математические выкладки опущены, но можете сами проверить, что условие нормировки соблюдено: сумма квадратов нормированных амплитуд равна единице. При этом соотношение амплитуд не изменилось: оно равно четыре к трём со знаком минус.

Пользуясь нормированными, а не бесконечными значениями амплитуд, мы можем упростить четвёртый постулат. Теперь он будет звучать так: вероятность результата равна квадрату нормированной амплитуды вероятности группы.

Тут может возникнуть вопрос: а зачем нам вообще тогда знак амплитуд – плюс или минус? Ведь вероятность результата от знака не зависит, потому что при возведении в квадрат знак теряется. Скажем, в нашем случае, что 0,8, что + 0,8 в квадрате дадут одно и тоже значение вероятности: 0,64. Отвечаю: для расчёта вероятности результата измерения знак действительно не важен. Но для различных манипуляций с квантовой реальностью, о которых мы будем говорить позже, знак очень существенен, поэтому мы не в праве его игнорировать.

Более того, напомню, что знак "плюс/минус" это  упрощение. На самом деле амплитуда – это вектор определённого направления. Знак – это тоже направление, но только в одномерном условном пространстве: туда-сюда. А математическое пространство, в котором существуют квантовые вектора виртуальных вариантов и их суперпозиции – амплитуды вероятности – двухмерное. Поэтому если по-настоящему, без упрощений, то нормированная амплитуда вероятности описывается комплексным числом – вектором двухмерного комплексного пространства (комплексной плоскости). В принципе, заявление о том, что квантовый вектор и вектор амплитуды вероятности группы математически эквивалентны векторам на комплексной плоскости, можно считать расширением второго постулата.

Ладно, ликбез по комплексной математике в мои планы не входит, поэтому мы ограничимся упрощённой моделью, в котором нормированная амплитуда вероятности представляется "вектором в одномерном пространстве". То есть, "обычным" действительным числом, положительным или отрицательным. Абсолютное значение (модуль) этого числа соответствует длине вектора амплитуды вероятности. А знак соответствует направлению вектора.

Для особо придирчивых читателей специально отмечу, что такая упрощённая модель не особо "грешит против истины", ведь действительное число - это частный случай комплексного числа. То есть, это такое комплексное число, у которого мнимая часть равна нулю.



Продолжение
Tags: квантовый ликбез, физика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 2 comments