|
|
10:30 pm: Квантовый ликбез - 5. Третий постулат.
Продолжаем. Предыдущие посты по теме желающие легко найдут по тэгу "Квантовый ликбез". Постулат 3.
Вероятность результата определяется суперпозицией квантовых векторов всех виртуальных вариантов, приводящих к данному результату.Не пугайтесь, этот "ребус" разгадывается просто. Перед тем, как заняться его расшифровкой, давайте условимся: всё бесконечное множество виртуальных вариантов, приводящих к одному и тому же результату, мы будем называть коротко: "группа вариантов", или просто "группа". При необходимости будем конкретно указывать результат. Например, если мы будем иметь ввиду все варианты, приводящие к срабатыванию датчика D1, то скажем коротко: "группа D1". Теперь о суперпозиции. Так называют ситуацию, когда некое общее свойство системы представляет собой сумму аналогичных свойств частей системы. Простейший случай - масса кучи орехов равна сумме масс орехов. Чуть сложнее - когда надо складывать величины разного знака. Например, атом водорода состоит из положительно заряженного протона и отрицательно заряженного электрона. Но общий заряд атома является суперпозицией - суммой зарядов составляющих его частиц, поэтому атом в целом электрически нейтрален. Ещё немного сложнее - суперпозиция векторных величин. Пример того, как может работать векторная суперпозиция, показан в басне Крылова "Лебедь, рак и щука". Каждый из героев басни старательно тянет воз на себя. Но разнонаправленные вектора трёх сил складываются и дают в сумме нулевой вектор, поэтому "воз и ныне там". Мораль сей басни нас сейчас не интересует, зато интересует физическая суть. С физической точки зрения тут имеет место векторная суперпозиция сил: вектор силы, действующей на воз с поклажей, равен сумме векторов всех приложенных к возу сил. И покуда этот результирующий вектор равен нулю, никакого движения воза с поклажей мы не обнаружим. Аналогичная история и с виртуальными вариантами. Квантовые вектора всех виртуальных вариантов одной группы складываются и дают результирующий вектор группы. Чем больше длина этого суммарного вектора - тем больше вероятность соответствующего результата. Стало быть, если длина группового квантового вектора равна нулю (все квантовые вектора взаимно скомпенсированы), то ни один из вариантов группы реализоваться в классической реальности не может. Кстати, математически корректнее было бы говорить не «длина вектора», а «модуль вектора» или «норма вектора». Но я и дальше буду называть это длиной, потому что так нагляднее, мне кажется. Тем, кто совсем далёк от этой "векторной алгебры", могу предложить максимально упрощённую картину. Считайте, что среди виртуальных вариантов одной группы есть условно "положительные" варианты, и условно "отрицательные". Если количество положительных и отрицательных вариантов группы одинаково, то ни один из вариантов этой группы реализоваться не может. Значит результат, за который "отвечает" эта группа, невозможен. А если есть "перевес" положительных виртуальных вариантов над отрицательными или наоборот, то результат возможен. Причём, чем больше перевес, тем сильнее «квантовый заряд» группы, и следовательно, тем выше вероятность результата. Кстати, поначалу, когда мы будем разбирать квантовые эксперименты, мы будем пользоваться именно такой, упрощённой моделью. В примере с басней Крылова, несложно представить себе суперпозицию векторов сил в обычном физическом пространстве. Но выше говорилось, что квантовые вектора виртуальных вариантов существуют в некоем условном пространстве. Как же наглядно представить себе суперпозицию в этом случае? В этом нам поможет герой ещё одной известной притчи - буриданов осёл. Напомню: этот осёл стоит ровно посередине между двумя одинаковыми стогами сена и не может определиться, какой стог сена выбрать. Разберём эту ситуацию в наших "квантовых" терминах. Мы ожидаем два взаимоисключающих результата: осёл либо ест, либо не ест. В группу первого результата (осёл ест) входят два виртуальных варианта: съесть левый стог или съесть правый стог. Да, пусть случай у нас тут не квантовый, но эти два варианта мы вправе называть виртуальными, поскольку они существуют только в виде идей в ослиной голове. Обратите внимание, эти два виртуальных варианта существуют, но взаимоисключают реализацию любого из них. Так что мешает нам представлять эти варианты в виде двух одинаковых по длине, но противоположно направленных векторов в условном пространстве ослиных мыслей? В силу суперпозиции, то есть, сложения векторов, результирующий вектор этой группы - нулевой. Значит, ни один из стогов не будет съеден, результат "осёл ест" невозможен. Совсем другое дело, если, например, слева от осла стоит два стога, а справа - один. В этом случае в группе результат «осёл ест» имеется три виртуальных варианта, и в суперпозиции "участвуют" три вектора: два влево, один вправо. Суперпозиция даст ненулевой результирующий вектор влево, что позволит ослу сделать выбор и насытиться. Ладно, закончим мысленные эксперименты с животными (в которых, кстати, не пострадал ни один натуральный осёл) и резюмируем обсуждение второго и третьего постулатов. Итак, каждому виртуальному варианту будущего можно сопоставить квантовый вектор единичной длины и определённого направления. Все виртуальные варианты можно разделить на группы – одна группа на каждый мыслимый результат. Группе виртуальных вариантов сопоставляется групповой квантовый вектор, являющийся результатом суперпозиции (то же самое – векторного суммирования) квантовых векторов всех вариантов группы. Вероятность соответствующего результата определяется длиной группового вектора. Кстати, для этого группового квантового вектора в физике есть специальное название: «амплитуда вероятности». О том, как именно связаны амплитуда вероятности и собственно вероятность результата, мы узнаем дальше. А пока разберём пару квантовых экспериментов, чтобы посмотреть, как эта безумная теория работает на практике. Разбор экспериментов в следующей серии. Tags: квантовый ликбез, физика
Мне, как математику, тяжело видеть фразу, в которой вероятность (число) сравнивается с суперпозицией (вектором).:)
Если вероятность - это норма вектора, то не может ли она оказаться больше 1?
Согасен, фраза корявая. Но на этом этапе повествования я не знаю, как сформулировать эту идею более корректно.
Вероятность - не норма вектора. Но, чем больше норма, тем выше вероятность. Подробности будут дальше.
//Аналогичная история и с виртуальными вариантами. Квантовые вектора всех виртуальных вариантов одной группы складываются и дают результирующий вектор группы. Чем больше длина этого суммарного вектора - тем больше вероятность соответствующего результата. Стало быть, если длина группового квантового вектора равна нулю (все квантовые вектора взаимно скомпенсированы), то ни один из вариантов группы реализоваться в классической реальности не может.//
- Вечером затормозила на этой фразе, бросила, но утром не стало яснее. Можете написать "по-простому", в общепринятых терминах, чему соответствует ваша группа? Сначала подумала, что это просто суперпозиция нескольких чистых состояний, но потом сильно засомневалась. Больше похоже на смешанное состояние. Но тогда почему вектор состояния? Для смешанного состояния одного вектора мало, нужна матрица.
Все-таки хочется понять связь между вашим наглядным изложением и тем формализмом, в который немного погружалась, хотя и не до конца его поняла и, тем более, не могла наглядно представить. Это помогло бы мне дальше двигаться в изучении его.
Делаю еще попытку.
//всё бесконечное множество виртуальных вариантов, приводящих к одному и тому же результату, мы будем называть коротко: "группа вариантов", или просто "группа". //
- Группа состояний, описываемых собственными векторами с одинаковым собственным значением?
Нет.
Представьте себе ящик, в котором лежат сколько-то белых и сколько-то чёрных шаров. В такой аналогии белые шары - это одна группа, чёрные - другая. То есть, группировка происходит по одинаковости чисто классического параметра.
Квантовый вектор - это уже сугубо квантовая характеристика виртуального варианта. Квантовые вектора различных вариантов в группе могут отличаться. В сумме квантовые вектора одной группы дают её (группы) амплитуду вероятности.
Да, прошу иметь в виду, что "квантовый вектор" - это моё собственное изобретение, так что не призываю доверять безоговорочно (могу ошибаться). Правда, в этом изобретении нет никакой "альтернативщины", это просто творческое переосмысление известных вещей.
// группировка происходит по одинаковости чисто классического параметра. //
- А что такое "классический параметр" в данном контексте?
//Да, прошу иметь в виду, что "квантовый вектор" - это моё собственное изобретение//
- Это многое объясняет. Я думала, речь идет о векторе состояния квантовой системы в многомерном гильбертовом пространстве, наверное, поэтому у меня концы с концами не сходились.
Моя цель была отобразить ваши термины в обычные для лучшего наглядного представления того, в чем сейчас пытаюсь разобраться. И не получается такое отображение.
Я много читала популярных изложений квантовой механики, но пару лет назад решила "закусить удила" и разобраться глубже, уже не не популярном уровне, так как решила наконец-то понять, что такое квантовые компьютеры и квантовые вычисления, о которых твердят уже несколько десятилетий. И стала пытаться изучить тот минимум из квантовой механики, который для этого нужен. Немного продвинулась, но твердых знаний нет, все пока зыбко в голове. И наглядности не хватает, хотя и пытаюсь что-то изобретать для себя. Мешает и то, что математику изрядно подзабыла, хотя "проходила" в свое время все необходимое, включая разнообразные математические пространства и операторы в них. Но работать уже не пришлось с математикой, по окончании учебы сразу стала программистом. Это я написала для того, чтобы установить общий язык для дискуссий.
А я пока не могу сообразить, что именно вызывает трудности. Давайте постепенно разбираться.
Вот в предыдущем ответе был пример: ящик с шарами. Допустим, там 10 белых шаров и 20 чёрных. Таким образом, если мы планируем вытащить шар наугад, у нас есть 30 вариантов будущего, при том, что возможных результатов всего два. 10 вариантов из 30 ведут относятся к группе "вынем белый", остальные 20 - к группе "вынем чёрный". Заметим, что вероятность вынуть тот или иной шар соответствует относительному количеству шаров этого цвета в ящике. Можно сказать, что "вытаскиваемость" цвета определяется количеством соответствующих шаров в ящике.
В первом приближении квантовая реальность - такой же "ящик". Измерение (реализация варианта) аналогично вытаскиванию "наугад" шара из ящика. Например, измеряя спин, мы "вытаскиваем" из квантовой реальности в классическую один вариант из множества. Которое делится на два подмножества: варианты, у которых "спин вверх", и варианты, у которых "спин вниз". Различие в том, что здесь вероятность "вытаскивания" того или иного варианта определяется более сложно. Не простым отношением количеств вариантов в той или иной группе, а отношением их амплитуд вероятности.
До этого места всё понятно?
Про вероятности с вытаскивание шаров у меня нет вопросов. Но, как ни странно, шары мне не помогают, а мешают. Я и так не очень тверда в понимании формализма, и потому боюсь, что шары столкнут меня с "пути истинного" назад к классической картине. А я как раз хочу привыкнуть мыслить без нее. Так что хорошо бы без шаров обойтись.
//Различие в том, что здесь вероятность "вытаскивания" того или иного варианта определяется более сложно. Не простым отношением количеств вариантов в той или иной группе, а отношением их амплитуд вероятности. //
- А как я поняла, вероятность определяется квадратом модуля амплитуды вероятности. Не получается увязать с тем, что Вы написали. Амплитуды вероятности - комплексные числа, а сами вероятности - действительные.
Заранее прошу извинить за занудство и упертость. Есть у меня такое неприятное свойство - привязываюсь к схеме, выстроенной у меня в голове и могу долго не понимать чужие схемы. Это происходит даже тогда, когда в своей схеме не полностью уверена.
> Я и так не очень тверда в понимании формализма, и потому боюсь, что шары столкнут меня с "пути истинного" назад к классической картине. А я как раз хочу привыкнуть мыслить без нее. Так что хорошо бы без шаров обойтись.
Если ищите формализма, тогда понимайте предложенные мной постулаты буквально: в них нет никакого "тайного смысла", который надо постичь. Они означают ровно то, что означают, не больше и не меньше.
> А как я поняла, вероятность определяется квадратом модуля амплитуды вероятности. Не получается увязать с тем, что Вы написали. Амплитуды вероятности - комплексные числа, а сами вероятности - действительные.
Совершенно правильно поняли, именно про это четвёртый постулат. Кода я говорил: "вероятность определяется амплитудами вероятности" я имел в виду не конкретную формулу, а тот факт, что первое от второго однозначно зависит.
> Заранее прошу извинить за занудство и упертость. Есть у меня такое неприятное свойство - привязываюсь к схеме, выстроенной у меня в голове и могу долго не понимать чужие схемы. Это происходит даже тогда, когда в своей схеме не полностью уверена.
Ладно, давайте попробуем "без шаров". Разберём ситуацию на примере положения в пространстве одиночной частицы. Пока, чтобы не усложнять картину, "забудем" про скорости, импульсы, спин и так далее, рассматриваем только координаты частицы.
Итак, с классической точки зрения объективно существует единственное положение частицы в пространстве. Это положение однозначно характеризуется тройкой чисел - значениями координат x, y, z в некоторой системе координат. Именно эти числа мы получим, если будем измерять координаты частицы. Давайте даже для упрощения рассуждений ограничимся только парой координат x, y, будем рассматривать положение частицы на плоскости.
С квантовой точки зрения виртуально, но не менее объективно, существует бесконечное число положений частицы в пространстве (в нашем случае - на плоскости). То есть, бесконечное число таких "классических" пар чисел. Более наглядно и вполне корректно будет представить себе это как бесконечное множество виртуальных частиц, каждая - со своей "классической" парой координат. Вот это и есть виртуальные варианты классического будущего, если под будущим понимать результат предстоящего измерения. То есть, облако виртуальных частиц, равномерно заполняющих всё пространство.
Продолжение...
Теперь давайте сделаем небольшую выборку из этой виртуальной бесконечности. Все рассуждения уже сами, пожалуйста, распространите на бесконечные множества. Для удобства изобразим выборку в виде такой таблички:
(0;0) (0;1) (0;2) (0;3)
(1;0) (1;1) (1;2) (1;3)
(2;0) (2;1) (2;2) (2;3)
(3;0) (3;1) (3;2) (3;3)
Перед нами шестнадцать виртуальных вариантов. Для каждого из вариантов левое число в скобках - значение координаты x, правое - значение координаты y.
Квантовое измерение - это случайный выбор и реализация одного виртуального варианта из всего множества. Допустим, мы измеряем координату x. В нашем случае мы можем получить только один из четырёх результатов: x=0, x=1, x=2 или x=3. Результат x=0 мы получим, если выпадет любой вариант из верхней строки. Результат x=1 даёт любой вариант из следующей строки и так далее. Вот эти строки - это и есть группы вариантов по возможному результату измерения x. Или, что то же самое: все варианты, попадающие в одну строку, дадут один и тот же результат при измерении координаты x.
Аналогично, столбцы - это разные группы вариантов по возможному результату измерения y. То есть, в зависимости от того, что именно мы измеряем, группировка виртуальных вариантов осуществляется по разному.
Очевидно, что вероятность получить при измерении определённый результат это то же самое, что вероятность попасть в соответствующую этому результату группу виртуальных вариантов.
Если Вам нужен "мостик", то моя группировка эквивалентна "академическому" представлению квантового состояния. В этом примере с выборкой мы в использовали только координатные представления, одно - по координате x, другое - по координате y. В реальных физических задачах используются и другие представления: импульсное, энергетическое, моментоимпульсное (спин) и так далее. Короче, по каждой наблюдаемой физической величине своё представление, или, как у меня, свой способ группировки. А отдельная группа, стало быть, эквивалента конкретному значению наблюдаемой.
До этого места всё понятно? Ясно, почему на каждый наблюдаемый результат (измерения) приходится бесконечное число виртуальных вариантов? Если да, тогда я смогу двигаться дальше и пояснить на счёт квантовых векторов и амплитуд вероятности.
//Если Вам нужен "мостик", то моя группировка эквивалентна "академическому" представлению квантового состояния. //
- "Мостик" я как раз и не могу понять.
//Ясно, почему на каждый наблюдаемый результат (измерения) приходится бесконечное число виртуальных вариантов?//
- Бесконечность в случае НЕПРЕРЫВНЫХ пространственных координат очень естественна. И, насколько я успела понять, это как раз наиболее сложный случай, выводящий за рамки простых матричных манипуляций. А вот с дискретным случаем (например, со спином) и вашими бесконечными группами применительно к нему хотелось бы разобраться.
Предлагаю рассмотреть самый что ни на есть простейший пример - кубит. Если надо, пусть для определенности это спин электрона (но хотелось бы не привязываться к этому). Никакой эволюции во времени пока не вводим, все статично. Состояние кубита задается вектором c1 |0> + c2 |1> , где |0> |1> - базисные вектора, c1 c2 - комплексные числа.
Что такое ваши бесконечные группы для этого случая?
Может, для удобства лучше будет c0 |0> + c1 |1>
Пожалуй, напишу, что я про эти группы сама надумала, хотя и не все концы с концами сошлись.
1. Их две.
2. Пропорции их элементов таковы, что им соответствуют вероятности c02 и c12.
А каковы состояния элементов каждой из групп? Просто все одинаковые |0> в одной группе и все одинаковые |1> в другой? Как-то это бессодержательно выглядит. В пределах одной группы есть отличия? Если да, то как их выразить в общепринятых терминах? Момент времени зафиксирован пока, интересует именно этот простейший случай.
Спин, как уже говорилось - бесконечная совокупность всевозможных виртуальных вращений. Говоря по другому, частица в квантовой реальности обладает одновременно всеми значениями (векорными) момента импульса. Вот на рисунке показана выборка из этого множества виртуальных векторов момента импульса в плоскости ZY для фермиона (протона, например) в состояния "спин вверх".  Любые вектора моментов импульсов виртуально существуют (серые, синие и красные стрелочки). Если мы измеряем спин в направлении оси Z, то мы, по сути дела, измеряем проекцию вектора момента импульса частицы на ось Z. Значит, в этом случае работает "группировка" виртуальных вариантов по одинаковости проекции момента импульса на ось Z (горизонтальные пунктирные линии). То есть, количество групп бесконечно, по одной группе на каждое значение проекции - действительное число от минус бесконечности до плюс бесконечности. И количество вариантов в каждой группе бесконечно - это, собственно, ответ на ваш вопрос. Итак, в виртуальной реальности количество групп бесконечно. Но, в силу особенностей квантования, для состояния "спин вверх" при измерении момента импульса вдоль оси Z возможен лишь один результат: +h/2. Виртуальные варианты, ведущие к этому результату и составляющие группу |Sz = +h/2>, показаны синими стрелочками. Нормированная амплитуда вероятности этой группы равна единице. Все остальные группы виртуальных вариантов при таком измерении имеют нулевые амплитуды вероятности - они нереализуемы. При измерении того же состояния вдоль оси Y группировка осуществляется по одинаковости проекций на ось Y (вертикальные пунктирные линии). При такой группировке существуют две реализуемых группы с ненулевой амлитудой вероятности: |Sy = +h/2> и |Sy = -h/2>. Виртуальные варианты этих групп показаны красными стрелочками. Как-то так.
Спасибо за подробный иллюстрированный ответ. Но я пока не поняла его, буду смотреть еще. Этот пример сложнее, чем то, что спросила я. Но самый первый вопрос: эти группы - ваша идея или о них где-то можно почитать? Тогда было бы легче.
Ага, помедитируйте :)
Ещё раз призываю: не ищите тут сложностей, понимайте буквально. И рекомендую ещё раз внимательно посмотреть 9-ю часть ликбеза.
Группы - это моё философское осмысление стандартной квантовой математики.
Уже помедитировала, пока ждала ответа :)
Вот что не поняла. Известно, что после измерения состояние меняется. А именно, если первое состояние было заведомо неопределенным (пусть вероятности 1/2 и 1/2), а измерение дало некий результат, то потом уже такое же измерение будет 100% давать такой же результат. Что это означает в терминах роя и группы? Как меняются при измерении группы? Если бы группы не менялись, то и второе измерение оставалось неопределенным.
На этот случай есть шестой постулат (часть 12). После измерения амплитуда вероятности "пойманной" группы становится равной единице. Амплитуды всех прочих групп обнуляются. Неопределённость исчезает.
//Амплитуды всех прочих групп обнуляются.// - А что этому соответствует? Во первых, на вашей картинке: http://eslitak.livejournal.com/232870.html?thread=1298086#t1298086Укорачиваются до нуля стрелки? А, во-вторых, в общепринятых терминах. Вот вы написали: "Амплитуды всех прочих групп обнуляются." Но амплитуда - характеристика состояния, и известно, как она вычисляется. Значит, у группы есть состояние? Тогда его можно бы обычным образом записать.
Это в точности соответствует коллапсу волновой функции.
На картинке как раз такое состояние, когда амплитуда группы |0> (она же - базисное состояние |Sz = +h/2>) равна единице, а амплитуда группы |1> (она же - базисное состояние |Sz = -h/2>) равна нулю. Амплитуды всех прочих групп для кубита равны нулю по определению.
Группа - это и есть состояние. Когда говорят: "квантовый объект находится в суперпозиции состояний", имеется в виду именно суперпозиция групп. И записывается обычным образом, действительно. У меня начиная с 16-й части таких записей пруд-пруди.
//Это в точности соответствует коллапсу волновой функции.// - Хорошо, обнуление амплитуд соответствует коллапсу. Это соответствие не вызывает возражений. Но все-таки не до конца понимаю графическую символику. Вот там выше написано ( http://eslitak.livejournal.com/232870.html?thread=1298086#t1298086) "Любые вектора моментов импульсов виртуально существуют (серые, синие и красные стрелочки). " Всегда существуют любые? И до, и после измерения? Как меняется картинка со стрелочками после коллапса? Чему соответствует длина стрелочек и их цвет?
Да, всегда и любые. И виртуальные варианты, и виртуальные группы. И до, и после.
После измерения меняются амплитуды вероятности групп.
Длина стрелочек на картинке соответствует абсолютному значению вектора момента импульса для данного виртуального варианта.
Синим цветом показана группа вариантов, реализуемых в базисе Z. Все прочие варианты, серые и красные, в этом базисе не реализуемы.
Красным цветом показана группа вариантов, реализуемых в базисе Y. Все прочие варианты, серые и синие, в этом базисе не реализуемы.
Фиолетовым цветом показаны два варианта, реализуемые в обоих базисах - Z и Y.
Серым цветом показаны варианты, не реализуемые ни в базисе Z, ни в базисе Y. В каких-то других базисах они могут реализоваться.
Это и есть после коллапса. Считайте, что мы измерили кубит в базисе Z и получили результат <0> (спин вверх). Произошел коллапс и получилось то, что на рисунке.
Спасибо за подробный ответ. Боюсь, что я уже злоупотребила вашим терпением, поэтому дальше пока не буду эту тему копать. Попробую все это учитывать в дальнейшем.
Кстати, этот пример даже проще вашего. Рассматривается состояние:
|0> в базисе Z (прибора, ориентированного вдоль положительного направления оси Z)
оно же:
1/sqrt(2) |0> + 1/sqrt(2) |1> в базисе Y
На всякий случай: sqrt(2) - это корень из двух. Но это Вы, как программист, должны знать :)
Edited at 2014-02-18 18:23 (UTC)
Этот пример уже отошел от кубита, поэтому для меня не проще. Я в основном на них тренируюсь :)
Насчет sqrt понятно. У меня C, C++, Java и плюс к этому всякая допотопная экзотика. Уже почти резюме вам выдала :) А вы где-то в комментариях (не мне) упомянули, что вы не физик. Может, коллега?
Это он самый и есть, кубит. В чистом виде!
Нет, не коллега, хотя по работе связан с ай-ти. Занимаюсь технической писаниной :)
Не совсем в чистом виде :) Это его физический носитель. В "чистом виде" постоянная Планка лишняя.
Вот тут в Вас проявился истинный программист :)
Ладно, в последнем выпуске ликбеза я же уже отрёкся от физической конкретики. А здесь вопрос был о кубите на базе спина, вот я использовал реальные значения момента импульса.
Разработано LiveJournal.com
|
