?

Log in

No account? Create an account

eslitak

Previous Entry Поделиться Пожаловаться Next Entry
12:27 am: Неравенства Белла - готово к употреблению
Свёл свои посты о неравенствах Белла в кучу и выложил на отдельный сайт. Теперь материал можно прочитать целиком и с разными удобствами типа меню и ссылок. Кому интересно - вэлкам.

Отзывы и критика приветствуются. Обсуждать лучше в комментах к этому посту, а можно там, на стене.

Спасибо тем, кто мне так или иначе помогал, комментируя материал по ходу написания:



Tags: , ,

Comments

[User Picture]
From:Sergei Vasiljev
Date:Апрель 5, 2017 03:52 am
(Link)
>В том, что спин определяется _не раньше_, чем протон попадает в датчик, у всех или почти у всех квантовых механиков консенсус.

Теория должна описывать и предсказывать некоторые процессы. Фиг с ним, когда именно спин определяется для наблюдателя. Предсказывает ли теория или объясняет как то изменения направления спина? Что может менять его направление? Как я понимаю, ПШГ может. Или нет?

>Вам понятно всё написанное после цифры 2?

Понятно, если кет-вектор плюс=(1,0), а кет-вектор минус=(0,1), и тогда s=(a,b). Обычная векторная запись мне как то ближе. Кроме того, кет-векторы столбцы, но здесь их писать неудобно, поэтому написал строки.

>Промежуточный вывод: для любого чистого состояния можно подобрать такую ориентацию прибора, что частица однозначно попадёт в плюс-канал.

Опять же, это модель, которую экспериментально не проверяли. Кстати, а можно ли это проверить экспериментально? Мне кажется можно.

>Да, сам я не проверял, но информации достаточно, чтобы сделать нужные выводы.

Вот тут бы подробнее. Какая именно информация позволяет вам делать тот самый нужный вывод? Можете предложить логику вывода про круг?

>Вот Вы ведь тоже не проверяли, наверняка, вышеупомянутые законы Ньютона.

Отчего же, проверял и многократно. Во многочисленных лабораторных работах, когда учился в ВУЗе, в экспериментах и их обработке, когда работал в институте. Если где либо этот закон не работал, я бы получил расхождения между экспериментами и теорией.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Апрель 5, 2017 06:38 pm
(Link)
Хорошо, тогда продолжу по пункту 2 из предыдущего комента.

Пусть теперь у нас имеется две частицы, каждая каком-то чистом состоянии. Пусть, для конкретики, эти состояния будут такими:

Частица 1:
|s1> = 0,6|плюс1> + 0,8|минус1> (1)

Частица 2:
|s2> = 1/sqrt(2)|плюс2> - 1/sqrt(2)|минус2> (2)

Здесь "sqrt(2)" означает "корень из двух". Красивые формулы тут писать неудобно, поэтому приходится извращаться, извините.

Мы вправе рассматривать пару частиц как единую систему. Формулу состояния для такой системы мы можем получить, перемножив чистые состояния |s1> и |s2>:

|s1;s2> = |s1> x |s2>

Речь идёт, вообще говоря, о тензорном умножении, это обозначено знаком "х". Но тонкости перемножения кэт-векторов нас cейчас не интересуют, мы просто примем к сведению, что произведение двух чистых "одиночных" состояний вида |s1>x|s2> образует системное состояние вида |s1;s2>. А вот коэффициенты при состояниях, то есть, амплитуды вероятности, перемножаются как обычные числа. Учитывая это, получаем:

|s1;s2> = (0,6|плюс1> + 0,8|минус1>) x (1/sqrt(2)|плюс2> - 1/sqrt(2)|минус2>) (3)

Раскроем скобки в (3):

0,6/sqrt(2)|плюс1;плюс2> - 0,6/sqrt(2)|плюс1;минус2> + 0,8/sqrt(2)|минус1;плюс2> - 0,8/sqrt(2)|минус1;минус2> (4)

Запись типа |плюс1;минус2> означает результат измерения обеих частиц, эта в частности - такой, в котором первая частица обнаруживается в плюс-канале, а вторая - в минус-канале.

Формулу системного чистого состояния (4) мы получили перемножением формул двух одиночных чистых состояний (1) и (2). Соответственно, возможна и обратная операция, мы можем "свернуть" формулу (4) обратно к виду (3). Физически это означает, что системное состояние (4) является сепарабельным - оно "сформировано" двумя частицами с определённым спином у каждой.

На амплитуды вероятности, как Вы знаете, наложено условие нормировки: сумма квадратов всех амплитуд вероятности строго равна единице. Никаких других ограничений на соотношение амплитуд не накладывается. В частности, возможно вот такое системное квантовое состояние:

|s1;s2> = 1/sqrt(2)|плюс1;плюс2> + 1/sqrt(2)|минус1;минус2> (5)

А теперь, внимание: формулу 5 невозможно представить в виде произведения двух чистых состояний вида (1), (2). Не верите? Ну попробуйте сами.

Следовательно, никакие две частицы, с определённым спином каждая, не могут дать состояния, описываемого формулой (5). А значит, кроме чистого состояния одиночной частицы возможен другой вид состояния, в котором спин не определён и который физики называют "смешанным". Это когда состояние частицы "запутано" с состоянием другого квантового объекта. В частности, в состоянии (5) частица 1 запутана с частицей 2 и наоборот, разумеется.

Вы можете предъявить претензии к изложенной математике, или сказать, что существование в природе состояний вида (5) не подтверждено экспериментально. И ошибётесь! Правильность формул такого типа, а значит и физических выводов, которые их них следуют, подтверждена опытами по квантовой телепортарции, по квантовым вычислениям, да и, собственно, по проверке неравенств Белла. Если интересно, можете попробовать сами вывести эти неравенства для того случая, когда каждая из частиц ЭПР-пары имеет определённый спин. Достаточно лишь немного модернизировать методику из "опуса" - там вывод для случая, когда каждая из частиц "запрограммирована" на определённый результат для каждой конкретной ориентации ПШГ.

Дискуссию по пунктам 1 и 3 считаю бесперспективной, уж извините.

Edited at 2017-04-05 18:42 (UTC)
[User Picture]
From:Sergei Vasiljev
Date:Апрель 6, 2017 12:27 pm
(Link)
>А теперь, внимание: формулу 5 невозможно представить в виде произведения двух чистых состояний вида (1), (2). Не верите? Ну попробуйте сами.

Попробовал. Суммарная вероятность обнаружить любую из частиц в состояниях плюс и минус равна нулю, что, видимо подтверждает ваши слова.

Тем не менее,
> Вы можете предъявить претензии к изложенной математике, или сказать, что существование в природе состояний вида (5) не подтверждено экспериментально. И ошибётесь!

Претензии немного другие. В чем смысл выражения (5)? Может я чего не то понимаю, но выражение (5) описывает состояние системы с неопределенным суммарным спином. Тогда как вокруг запутанных состояний игра идет на законе сохранения, спина в частности. Т.е. заранее известно, что суммарный спин вполне определенный. И если у одной частицы спин оказывается одним, то, у другой он вполне определен даже без измерений. Поэтому, как я понимаю, опять же, уравнение (5) не описывает запутанные состояния. Ну или описывает, но не те, о которых обычно идет речь.
Ну вот смотрите. Из (5) следует, что либо обе частицы попадают в канал плюс, либо обе в минус. Тогда как в ваших опытах спутанные частицы попадают в разные каналы. По хорошему, этот случай должен описываться формулой
|s1;s2> = 1/sqrt(2)|плюс1;минус2> + 1/sqrt(2)|минус1;плюс2>
А вот это состояние имеет решение с двумя частицами с определенным спином.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Апрель 6, 2017 05:43 pm
(Link)
> Суммарная вероятность обнаружить любую из частиц в состояниях плюс и минус равна нулю

Не уверен, что правильно понял эту фразу. Если имелось в виду "вероятность обнаружить частицы в разных состояниях равна нулю", тогда да, именно так.

> Может я чего не то понимаю, но выражение (5) описывает состояние системы с неопределенным суммарным спином.

Мы же условились, что состоянием с определённым спином мы будем называть такое состояние, к котором предопределены вероятности того или иного результата измерения. В выражении (5) они для пары частиц предопределены. Одна вторая для результата "плюс-плюс", одна вторая для "минус-минус" и ноль для "плюс-минус", "минус-плюс".

> Тогда как вокруг запутанных состояний игра идет на законе сохранения, спина в частности. Т.е. заранее известно, что суммарный спин вполне определенный.

Вернёмся к случаю с одиночной частицей вот в таком, например, состоянии:

|s> = 1/sqrt(2)|плюс> - 1/sqrt(2)|минус> (2)

В наших договорённостях спин определён - эта формула его и определяет. Такой спин представляет собой равновесную суперпозицию двух противоположных "базисных" спинов. С законом сохранения всё в порядке, если при измерении частица обретёт спин "+1/2" (для протона, допустим), то измерительный прибор обретёт спин "-1/2", и наоборот.
Для пары частиц (5) всё аналогично. Суммарный спин пары до измерения - равновесная суперпозиция базисных суммарных спинов "+1" и "-1". Ну и далее по тексту :)

> И если у одной частицы спин оказывается одним, то, у другой он вполне определен даже без измерений.

Само-собой. Как только одна из частиц определилась, вторая определяется тоже. Может, пригодится на будущее: этот процесс называется "проекция состояния при измерении". В данном случае, при измерении частицы 1, чистое двухчастичное состояние проецируется в чистое состояние одночастичное состояние частицы 2. Результат проекции (состояние частицы 2 после измерения) строго коррелирует с результатом измерения частицы 1, конечно.

> Поэтому, как я понимаю, опять же, уравнение (5) не описывает запутанные состояния. Ну или описывает, но не те, о которых обычно идет речь.

Да нет, вполне типичное запутанное состояние.

> Ну вот смотрите. Из (5) следует, что либо обе частицы попадают в канал плюс, либо обе в минус. Тогда как в ваших опытах спутанные частицы попадают в разные каналы. По хорошему, этот случай должен описываться формулой

> |s1;s2> = 1/sqrt(2)|плюс1;минус2> + 1/sqrt(2)|минус1;плюс2>

Правильно, для "моих" опытов - именно так. Но можно было бы провести такие же опыты и с тем же итогом (нарушение неравенства) с состоянием вида (5). Кое-что бы поменялось в технике расчёта, но и только.

> А вот это состояние имеет решение с двумя частицами с определенным спином.

И какое же?
[User Picture]
From:Sergei Vasiljev
Date:Апрель 7, 2017 02:35 am
(Link)
>Не уверен, что правильно понял эту фразу. Если имелось в виду "вероятность обнаружить частицы в разных состояниях равна нулю", тогда да, именно так.

У меня получилось, что суммы квадратов вероятностей для каждой из частиц равны нулю. Насколько я понимаю, этот показатель суммирует вероятности по всем всем возможным состояниям. Вот только запрещает ли это иметь ненулевые вероятности по отдельным состояниям? В этом случае должны быть отрицательные вероятности для каких то состояний, если это имеет хоть какой то смысл.

[User Picture]
From:Sergei Vasiljev
Date:Апрель 7, 2017 03:17 am
(Link)
Нажал кнопку "добавить" не закончив отвечать.:(

>Для пары частиц (5) всё аналогично. Суммарный спин пары до измерения - равновесная суперпозиция базисных суммарных спинов "+1" и "-1".

Если можно экспериментальный пример генерации таких пар?

>> А вот это состояние имеет решение с двумя частицами с определенным спином.

>И какое же?

А что вы имели ввиду, когда предлагали мне проверить уравнение (5)? Видимо, решить систему уравнений. Именно это я и сделал. Что мешает сделать то же самое и вам?
В данном случае у меня получилось восемь решений
{a1 = 0., a2 = 1., b1 = 1., b2 = 0.}, {a1 = 0., a2 = 1., b1 = -1., b2 = 0.}, {a1 = 0., a2 = -1., b1 = 1., b2 = 0.}, {a1 = 0., a2 = -1., b1 = -1., b2 = 0.}, {a1 = 1., a2 = 0., b1 = 0., b2 = -1.}, {a1 = 1., a2 = 0., b1 = 0., b2 = 1.}, {a1 = -1., a2 = 0., b1 = 0., b2 = 1.}, {a1 = -1., a2 = 0., b1 = 0., b2 = -1.}
Здесь цифры относятся к частицам 1 и 2, a - для плюс канал, b - для минус канала.
Можно видеть, что если одна попадает в плюс канал, то другая обязательно в минус канал.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Апрель 9, 2017 06:33 pm
(Link)
> У меня получилось, что суммы квадратов вероятностей для каждой из частиц равны нулю.

Выпишем выражение (5) ещё раз:

|s1;s2> = (1/sqrt(2))|плюс1;плюс2> + (1/sqrt(
2))|минус1;минус2> (5)

Вероятность результата |плюс1;плюс2>:

P(++) = (1/sqrt(2))*(1/sqrt(2)) = 1/2

Вероятность результата |минус1;минус2>:

P(--) = (1/sqrt(2))*(1/sqrt(2)) = 1/2

Вероятности результатов |плюс1;минус2> и |минус1;плюс2>:

P(+-) = P(-+) = 0.

О какой сумме квадратов вероятностей вы говорите, я не понял.

> Насколько я понимаю, этот показатель суммирует вероятности по всем всем возможным состояниям. Вот только запрещает ли это иметь ненулевые вероятности по отдельным состояниям? В этом случае должны быть отрицательные вероятности для каких то состояний, если это имеет хоть какой то смысл.

"Отрицательные вероятности" смысла не имеют. Но "отрицательные амплитуды вероятностей" - вполне себе. Амплитуда вероятности вообще комплексное число, имеющее в общем случае вещественную и мнимую компоненты. И каждая из компонент может быть положительной или отрицательной.

Вероятность же определяется как квадрат модуля амплитуды вероятности. Она может быть равна нулю, как, например, в состоянии (5) для результатов |плюс1;минус2> и |минус1;плюс2>. но она ни в каком случае не может быть отрицательной.

> Если можно экспериментальный пример генерации таких пар?

Легко. Генерируем пару частиц в состоянии:

|s1;s2> = (1/sqrt(2))|плюс1;минус2> + (1/sqrt(2))|минус1;плюс2>

А затем вторую частицу подвергаем воздействию, которое переворачивает спин на противоположный, то есть, "плюс" меняет на "минус" и наоборот. На практике такой унитарный "перевёртыш" несложно реализовать путём воздействия на частицу магнитным полем определённой силы, направления и длительности. В результате воздействия получаем:

|s1;s2> = (1/sqrt(2))|плюс1;плюс2> + (1/sqrt(2))|минус1;минус2>

> А что вы имели ввиду, когда предлагали мне проверить уравнение (5)? Видимо, решить систему уравнений. Именно это я и сделал.

(5) - это не уравнение, которое надо решать. Это равенство, выражающее конкретное квантовое состояние системы из двух частиц. Я предлагал вам представить это равенство в виде произведения двух одночастичных состояний, с определённым спином каждое. Давайте сформулируем задачу более формально. Берём вот такое выражение:

1/sqrt(2)|плюс1;плюс2> + 1/sqrt(2)|минус1;минус2> = (p1|плюс1> + m1|минус1>)x(p2|плюс2> + m2|минус2>)

Попробуйте подобрать такие (можно комплексные) числа p1, m1, p2, m2, чтобы это равенство выполнялось. Или, если вам так удобнее, можно сформулировать задачу в виде системы уравнений:

p1*p2 = 1/sqrt(2)
p1*m2 = 0
m1*p2 = 0
m1*m2 = 1/sqrt(2)

Пожалуйста, четыре уравнения с четырьмя неизвестными - попытайтесь решить.

> В данном случае у меня получилось восемь решений

Оставляю без комментария, поскольку не понял, что именно вы вычисляли таким образом.
[User Picture]
From:Sergei Vasiljev
Date:Апрель 10, 2017 03:34 pm
(Link)
>О какой сумме квадратов вероятностей вы говорите, я не понял.

Неправильно выразился. Конечно же не квадраты вероятностей, а квадраты коэффициентов при кет-векторах.
Пользуясь вашими обозначениями, для отдельных частиц:
|s1>=p1|+> + m1|->
|s2>=p2|+> + m2|->
Для пары перемножаем.
Частные случаи:
1. Тот, что предложили вы. Только систему как мне представляется, вы предложили неправильную. Почему нельзя приравнять нулю не каждый из перекрестных членов, а их сумму? По другому, почему вы считаете, что состояние |плюс1;минус2> отличается от состояния |минус1;плюс2>? Частицы 1 и 2 вроде как тождественные, значит от замены 1 на 2 и наоборот ничего меняться не должно.
Та система, которую написали вы, естественно никакого решения не дает. Но вот если приравнивать нулю не отдельно перекрестные члены, а их сумму. Тогда какое то решение есть. Только оно предполагает p1^2+m1^2=p2^2+m2^2=0. Вот в этом смысле я и говорил про суммарную нулевую вероятность обнаружить частицу. При этом какие то коэффициенты будут мнимыми. Например, p1=I*m1 и p2=I*m2.
2. Тот случай, что вы обозначили формулой: |s1;s2> = (1/sqrt(2))|плюс1;минус2> + (1/sqrt(2))|минус1;плюс2>
Опять же, состояние |плюс1;плюс2> отличается от состояния |минус1;минус2> только направлением оси, которое выбирается произвольно. Ввиду симметрии эти состояния не должны отличаться друг от друга. Тогда приравнивать нулю нужно сумму коэффициентов при них. Система будет выглядеть так: {m1^2+p1^2 = 1, m2^2+p2^2 = 1, m1*m2+p1*p2 = 0, m1^2*p2^2+m2^2*p1^2 = 1}
Вот для этого случая существует решение в виде суперпозиции одночастичных состояний. 8 решений я вам привел. Чтобы перевести в ваши обозначения, надо заменить мои a на ваши p, а мои b на ваши m:
{m1 = 0., m2 = 1., p1 = 1., p2 = 0.}, {m1 = 0., m2 = 1., p1 = -1., p2 = 0.}, {m1 = 0., m2 = -1., p1 = 1., p2 = 0.}, {m1 = 0., m2 = -1., p1 = -1., p2 = 0.}, {m1 = 1., m2 = 0., p1 = 0., p2 = -1.}, {m1 = 1., m2 = 0., p1 = 0., p2 = 1.}, {m1 = -1., m2 = 0., p1 = 0., p2 = 1.}, {m1 = -1., m2 = 0., p1 = 0., p2 = -1.}

>На практике такой унитарный "перевёртыш" несложно реализовать путём воздействия на частицу магнитным полем определённой силы, направления и длительности.

Возникают два спорных момента.
1. Откуда известно, что при повороте таким образом спина у одной частицы не происходит синхронного изменения спина у другой, так что суммарный спин каким был, таким и остался? Ведь эксперименты показывают, что спины спутанных частиц коррелируют.
2. А не о том ли мы дискутировали, когда я обращал внимание на возможный процесс поворота спина в ПШГ на его начальном участке? Если, как вы говорите, спин легко ориентировать магнитным полем, не то же ли самое происходит в ПШГ?
[User Picture]
From:eslitak
Date:Апрель 10, 2017 06:41 pm
(Link)
Видите ли, те формулы, которые я здесь пишу, означают вполне конкретные физические состояния. Возьмём опять одиночную частицу в чистом состоянии такого вида:

|s1> = p1|+> + m1|->

Если мы пропустим такую частицу через ПШГ, то она обязательно попадёт либо в "плюс", либо в "минус", третьего не дано (разве что из-за приборного глюка,
но этот случай мы не рассматриваем).

Вероятность того, что частица попадёт в "плюс" равна |p1|^2 (модуль p1 в квадрате).

Вероятность того, что частица попадёт в "минус" равна |m1|^2.

Полная вероятность, то есть, вероятность того, что частица в попадёт в какой-то один из датчиков, равна, разумеется, единице. Этот физический факт и отражает формула:

|p1|^2 + |m1|^2 = 1

Это просто, как говорится, "по определению". Никакого нуля тут быть не может в принципе. Так что ваше p1^2+m1^2=0 не выражает собой никакой физической реальности.

Я в тупике. Как нам дальше продолжать беседу, если мы говорим на разных физических языках?
[User Picture]
From:Sergei Vasiljev
Date:Апрель 11, 2017 11:09 am
(Link)
>Так что ваше p1^2+m1^2=0 не выражает собой никакой физической реальности.

А я вроде против этого и не возражал. Вы взялись критиковать несущественное, оставив в стороне существенное. Существенное, в данном случае, это составление системы уравнений. Вы никак не прокомментировали предложенную мной возможность составления системы уравнений.
Ну а то, что решение одной из систем предполагает то самое условие, действительно может говорить о невозможности представления такого состояния в виде суперпозиции состояний двух частиц. Только и всего. Чего это вы так раскипятились?
Опять же, вы не ответили на вопрос о воздействии магнитного поля не на одну, а сразу на две частицы. И это тоже существенно, по крайней мере, в качестве возражения на то, что реализовать предложенное вами двухчастичное состояние легко. Может оказаться, что трудно, а может даже и невозможно.
Разработано LiveJournal.com