?

Log in

No account? Create an account

eslitak

Previous Entry Поделиться Next Entry
08:02 pm: Неравенства Белла - часть 3.2

Это шестой, предпоследний пост по теме. Начало здесь:

              Введение
              Часть 1.1. Спин
            Часть 1.2. Спин (продолжение)
            Часть 2. ЭПР-пары
             Часть 3.1. Неравенство Белла

              Теперь нам не составит большого труда вывести неравенства Белла.


Для начала поставим такой вопрос: какова вероятность получить тот или иной исход одного "выстрела"? Например, такой: [A+,B+]?

Очевидно, что такой исход может быть получен только если П1 ориентирован в направлении A, а П2 - в направлении B. То есть, в конфигурации приборов {A,B}.

Так же понятно, что такой исход могут дать только такие ЭПР-пары, в которых протон 1 несёт в себе следующий набор X-параметров:

<A+,B,C+>

<A+,B,C–>

Значит, формулу для вероятности исхода [A+,B+] мы можем записать так:

P[A+,B+] = P{A,B} * (P<A+,B,C+> + P<A+,B,C>)       (ф. 3.1)

Здесь P{A,B} - вероятность конфигурации {A,B}. У нас конфигурации переключаются случайным образом, и все 9 возможных конфигураций равновероятны. Следовательно:

P{A,B} = 1/9        (ф. 3.2)

P<A+,B,C+>, P<A+,B,C> в формуле (ф. 3.1) - это вероятности генерации ЭПР-источником первого протона соответствующего сорта. Эти вероятности нам неизвестны, ну и не надо.

С учётом (ф. 3.2) формулу (ф. 3.1) мы можем переписать так:

P[A+,B+] = (1/9)*P<A+,B,C+> + (1/9)*P<A+,B,C> (ф. 3.3)

Путём аналогичных рассуждений получим также следующие формулы:

P[B,C] = (1/9)*P<A+,B,C+> + (1/9)*P<A,B,C+> (ф. 3.4)

P[A+,C+] = (1/9)*P<A+,B+,C> + (1/9)*P<A+,B,C> (ф. 3.5)

Теперь сложим формулы (ф. 3.4) и (ф. 3.5):

P[B,C] + P[A+,C+] = (1/9)*P<A+,B,C+> + (1/9)*P<A,B,C+> + (1/9)*P<A+,B+,C> + (1/9)*P<A+,B,C>      (ф. 3.6)

Сумма первого и четвёртого членов (выделены зелёным) в правой части выражения – это вероятность P[A+,B+], смотрите формулу (ф. 3.3). Тогда получается:

P[B,C] + P[A+,C+] = P[A+,B+]  + (1/9)*P<A,B,C+> + (1/9)*P<A+,B+,C>    (ф. 3.7)

Значит, должно выполняться следующее неравенство:

P[A+,B+]  ≤  P[B,C]  +  P[A+,C+]      (ф. 3.8)

Это и есть искомое неравенство Белла.

Мы можем переписать его в таком виде:

     

где:

N[...] - количество попыток ("выстрелов"), в которых получен результат соответствующего вида;

N - общее количество попыток.

Теперь домножим все части на N и запишем неравенство Белла ещё проще:


N[A+,B+]  ≤  N[B,C]  +  N[A+,C+]       (ф. 3.10)

С точки зрения классического подхода это неравенство должно выполняться при любых направлениях A, B, C. Если на опыте выяснится, что это не так, значит, классический подход не состоятелен.

Теперь выведем аналогичное неравенство для квантового подхода. Он, напомню, заключается в следующем. Протон, подлетевший к прибору, не имеет "готовой программы", его спин не предопределён. Так что тот протон ЭПР-пары, который подлетел к своему прибору первым, "выбирает" плюс-канал или минус-канал случайно. При этом происходит "сеанс телепатии" между протонами ЭПР-пары: спин второго протона ориентируется строго противоположно тому направлению спина, которое измерено для первого протона. Например, если первый протон дал результат [A+], то второй немедленно переключится из неопределённого состояния в определённое состояние <A>. Конечно, с "квантовой" точки зрения, это состояние определено только относительно прибора с ориентацией {A}. На прочих ориентациях прибора выбор опять будет случайным, предопределена только вероятность того или иного исхода. Короче, если один протон "выдал" результат [A+], то второй протон ведёт себя так, как будто бы он сам прошел через минус-канал прибора с ориентацией {A}. Или через плюс-канал прибора с противоположной ориентацией {–A}.

Рассчитаем теперь "квантовую" вероятность исхода [A+,B+]. Предположим, что первым сработал П1, а вторым – П2 (можно было бы предположить и обратное, на результат расчёта это не влияет). При таком раскладе вероятность исхода определяется произведением трёх  вероятностей:

P[A+,B+]  =  P{A,B} * P[A+] * P(совп)             (ф. 3.11)

Где

P{A,B} –  вероятность того, что экспериментальная установка находится в конфигурации {A, B}. Выше мы выяснили, что эта вероятность равна 1/9.

P[A+] – вероятность того, что первый протон попадёт в плюс-канал П1. Здесь выбор абсолютно случаен, и эта вероятность всегда равна 1/2.

P(совп)  –  вероятность совпадения результатов П1 и П2 для данной взаимной ориентации приборов. Формула (ф. 2.8) для вычисления этой вероятности имеется в конце части 2. Перепишем её в следующем виде:

     

Здесь AB – угол между направлениями A и B.

Теперь мы можем переписать формулу (ф 3.11) так:

         

Рассуждая аналогичным образом, мы можем получить формулы для вероятностей следующих исходов:

       
         

Теперь подставим полученные выражения (ф. 3.13), (ф. 3.14), (ф. 3.15) в неравенство Белла (ф. 3.8):

       

Общий множитель можем выбросить, тогда получится:

       

А теперь самый главный (в обсуждаемой теме) «квантовый» вывод: существуют такие взаимные ориентации направлений A, B, C, для которых это неравенство не выполняется.

Например, это неравенство не выполняется для следующей комбинации углов:

AB = 190°

BC = 80°

AC = 90°

Счастливые обладатели калькуляторов могут сами подставить эти углы в формулу (ф. 3.17) и убедиться :)

Значит, для такой взаимной ориентации направлений в реальных опытах не должно выполняться и неравенство (ф. 3.10). В виду практической важности выпишем это неравенство ещё раз:

N[A+,B+]  ≤  N[B,C]  +  N[A+,C+]       (ф. 3.10)

Ну что же, осталось только экспериментально проверить, какой подход, классический или квантовый, даёт правильные предсказания. Схема и методика эксперимента у на уже описаны в начале этой части (рисунок 3.1).  Выберем для опыта такой набор направлений A, B, C, для которого классический и квантовый подходы дают противоречащие друг другу предсказания. Отстреляем большое количество ЭПР-пар, аккуратно подсчитаем количество исходов [A+,B+], [B,C] и [A+,C+] и посмотрим, выполняется неравенство (ф. 3.10) или нет.

Так вот, такой реальный эксперимент показывает: неравенство Белла нарушается. Следовательно, «победа присуждается» квантовому подходу. А классический подход с его абсолютным детерминизмом и локальностью оказывается несостоятельным.

На этом можно было бы рассказ о неравенствах Белла закончить. Но я хотел бы высказать ещё несколько соображений на тему, поэтому окончание следует.

 


Вопросы, возражения и замечания  по прежнему приветствуются

           Эпилог



Tags: ,

Comments

From:(Anonymous)
Date:Март 11, 2015 08:43 pm
(Link)
Получается, что неравенство Белла, полученное для симметричного расположения детекторов для углов расположения 120,120,120, нарушается экспериментально при комбинации углов 190,80,90. Что это доказывает? Или я всё не так понял.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Март 12, 2015 08:53 am
(Link)
Просмотрите ещё раз классический вывод неравенства (от начала этого поста до формулы 3.10). Конкретные значения углов там нигде не используются, только условные (произвольные) направления A, B, С. Так что классический вывод говорит нам о том, что неравенство должно выполняться для любых направлений.

А 120, 120, 120 - это выбрано для картинки, и не более того.

А вот в квантовом выводе неравенства конкретные значения углов используются. И мы видим, что для некоторых комбинаций направлений неравенство не выполняется. Что соответствует результатам экспериментов.
[User Picture]
From:sensible_idea
Date:Сентябрь 22, 2016 09:41 am
(Link)
В выводе "классической" части неравенства содержится логическая ошибка. Цитата: "в протоне «записано» значение X-параметра и для всех прочих направлений ориентации прибора". Это не верно. В протоне "записан" угол наклона спина и в параметр его перевести никак нельзя, поскольку с одним и тем же углом (параметром Х) могут срабатывать разные датчики, и следовательно вероятности в формулах 3.3 3.4 3.5 P
[Error: Irreparable invalid markup ('<a+,b–,c+>') in entry. Owner must fix manually. Raw contents below.]

В выводе "классической" части неравенства содержится логическая ошибка. Цитата: "в протоне «записано» значение X-параметра и для всех прочих направлений ориентации прибора". Это не верно. В протоне "записан" угол наклона спина и в параметр его перевести никак нельзя, поскольку с одним и тем же углом (параметром Х) могут срабатывать разные датчики, и следовательно вероятности в формулах 3.3 3.4 3.5 P<A+,B–,C+> P<A+,B–,C–> будут различны и зависимы от угла наклона датчиков. Следовательно неравенство 3.8 не имеет места быть.
From:(Anonymous)
Date:Ноябрь 5, 2017 09:39 pm

Вопрос по формуле 3.14

(Link)
В формуле 3.14 была использована формула для Pсовп, но Pсовп была выведена для случая когда прибор A ориентирован по оси Z. Нет ли ошибки в формуле 3.14 учитывая, что ни прибор B, ни прибор C не ориентирован по z?
[User Picture]
From:eslitak
Date:Ноябрь 6, 2017 08:56 pm

Re: Вопрос по формуле 3.14

(Link)
В формуле 3.14 имеет значение только угол между направлениями. Ведь Z - это совершенно условное направление. Выберите его таким, чтобы оно совпадало с направлением B, и вопрос сразу снимается.
[User Picture]
From:shark_cool
Date:Январь 26, 2018 07:23 pm
(Link)
Спасибо за интересное изложение. Однако "мучает" меня один вопрос - разве генератор ЭПР-пар не может быть гипотетически устроен каким-то нетривиальным образом, генерируя протоны, которые дадут в определенных случаях нарушение неравенства Белла?

К примеру, есть протон, которому нужно сгенерировать функцию Х. Высчитываем ее именно таким образом, чтобы для определенных углов A и B выполнялось равенство Pсовп = 1/18 * sin(EF)^2.

Тогда если в эксперименте вы выбрали именно эти углы, неравенство будет нарушено, несмотря на то, что имели место именно скрытые параметры.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Январь 28, 2018 06:32 pm
(Link)
Спасибо за отзыв.
Не совсем понял идею. Как мы можем "высчитать" функцию протона, и что такое "EF"?
[User Picture]
From:shark_cool
Date:Январь 29, 2018 04:25 pm
(Link)
Суть в том, чтобы произвести компьютерную симуляцию ситуации, в которой скрытые параметры есть, но неравенство Белла тем не менее нарушается.

Ну представим себе на минутку, что имеем дело не с протонами, а некими абстрактными объектами. Источник этих объектов (компьютерная программа) может назначать каждой паре объектов функцию Х наподобие той, что упомянуты в вашей статье.

Каждый объект попадает в некую эмуляцию измерительного прибора, опять же по аналогии с реальными экспериментами.

Разве не получится заложить достаточно сложную программу таким образом, чтобы на измерительных приборах зафиксировалось нарушение неравенства Белла?

E и F - это углы-константы. Я попытался предположить, как бы такая программа могла работать.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Январь 29, 2018 05:57 pm
(Link)
Программа, "размазанная" по паре протонов и учитывающая удалённое взаимодействие, действительно может так работать, про это написано по ссылке "Эпилог". Там же рассуждения о том, что идея о существовании такой программы не имеет никакого практического смысла.
From:(Anonymous)
Date:Октябрь 2, 2018 05:42 pm

Неравенства Белла - часть 3.2

(Link)
После формулы 3.7 Вы пишете"Значит, должно выполняться следующее неравенство" и приводите формулу 3,8.
Мне кажется здесь некорректное утверждение. Почему оно должно выполняться? Тут не учтены углы между А,В и С, а без них это утверждение спорно. Прошу разъяснить если я не прав ledneff@list.ru
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 5, 2018 08:10 am

Re: Неравенства Белла - часть 3.2

(Link)
В формуле 3.7 все слагаемые - это вероятности, которые по определению не могут быть отрицательными. Значит, если мы из правой части выкинем два слагаемых, то правая часть будет меньше или равна левой, что и записано как формула 3.8.

А углы здесь совершенно не при чём, они вообще не используются в классической части рассуждений, до формулы 3.10 включительно.
Разработано LiveJournal.com