Неравенства Белла - часть 3.1

Часть 3 – Неравенства Белла

Мы выяснили на опыте, что результаты измерений спинов протонов ЭПР-пары коррелируют между собой. Но чем обусловлена эта корреляция?

Корреляция бывает, так сказать, двух "сортов". Во-первых, корреляция состояний двух различных объектов может объясняться какими-то общими для обоих объектов свойствами. Во-вторых, корреляция может быть вызвана тем, что между объектами существует какая-то «оперативная» связь. Вроде как, это понятно, но на всякий случай объясню на следующем мысленном эксперименте "на людях". В опыте участвуют два испытуемых, допустим, Петя и Вася, и экспериментатор - ведущий. Пусть Петя и Вася сидят в разных комнатах. Ведущий ходит из одной комнаты в другую и задаёт испытуемым одинаковые вопросы. Испытуемые отвечают, и в ходе эксперимента выясняется, что ответы Васи и Пети всегда совпадают. То есть, между ответами наблюдается строгая корреляция. Как ведущий может объяснить такой результат? Тут возможны две версии.

Первая версия - и у Васи и Пети есть "справочник" (на бумаге или в голове), содержащий ответы на все мыслимые вопросы. Причём, совершенно не существенно, правильные это ответы или нет. Важно то, что оба справочника, и васин и петин, одинаковы. В данной ситуации эти справочники являются "скрытым параметром", предопределяющим ответы испытуемых. Скрытым - потому что ведущий о нём ничего не знает. Здесь причиной корреляции является то, что Петя и Вася как-то взаимодействовали в прошлом. Либо непосредственно, договариваясь об ответах, либо опосредовано, получив свои «справочники» из одного источника. Другими словами, Петя и Вася были когда-то частью одной системы. Разделившись на две отдельные системы, они перестали взаимодействовать, но продолжают действовать по одной заложенной в них «программе».

Вторая версия - Петя и Вася оперативно связываются друг с другом, допустим, телепатически. Скажем, ведущий спрашивает Васю: "Кто написал "Му-му"? У Васи никакого "справочника" нет, и он отвечает первое, что взбредёт в голову. Например: "Айвазовский". И немедленно после ответа Вася телепатирует Пете: "На вопрос "кто написал "Му-му", отвечай - Айвазовский". При таком раскладе корреляция между ответами Пети и Васи тоже обеспечена, но никакого скрытого параметра, заранее предопределяющего ответ, не существует. В этом случае можно считать, что Петя и Вася остаются неразделёнными частями единой системы.

В нашем опыте с ЭПР-парами ситуация аналогичная. Мы каждому протону из пары "задаём один и тот же вопрос", точнее, пропускаем протоны через одинаково ориентированные ПШГ. И тоже получаем полную корреляцию, только со знаком "минус". Протоны ЭПР-пары всегда "дают разные ответы": если один уходит в плюс-канал, то второй обязательно уйдёт в минус-канал. Здесь также возможны две версии объяснения этой корреляции.  

С точки зрения классического «здравого смысла» напрашивается версия скрытого параметра. Оба протона ЭПР-пары рождены в одном процессе, значит, определенно были частями единой системы в прошлом. К тому же, как уже было отмечено выше, корреляцию параметров протонов должен обеспечивать классический закон сохранения момента импульса: если у системы, породившей два протона, был нулевой спин, то у протонов пары спины будут направлены противоположно. Значит, результаты измерений предопределяются в момент рождения ЭПР пары. Причём, если первому протону предопределено оказаться в плюс-канал П1, то второму предопределено оказаться в минус-канале П2. Конечно, при том условии, что П1 и П2 ориентированы одинаково. Всё выглядит пока вполне логично. Но давайте в рамках этой логичной классической версии спрогнозируем статистику измерений для разных ориентаций П1 и П2. И посмотрим, насколько эта статистика совпадает с результатами реальных экспериментов.

Эксперимент с разными ориентациями П1 и П2 мы уже проводили, смотрите рисунок 2.2 в предыдущей части. Для «белловкого» эксперимента используем ту же схему, только чуточку «модернизируем» обозначения на ней (рисунок 3.1).

Приборы П1 и П2 по прежнему могут поворачиваться вокруг оси X. Но сейчас мы будем ориентировать их только в трёх направлениях, обозначенных на рисунке как A, B, C. У нас на рисунке направление А совпадает с направлением оси Z, направления B и С повёрнуты на 120° и 240° соответственно, но в принципе дальнейшие рассуждения верны для трёх произвольных направлений A, B, C. На рисунке показана ситуация, когда прибор П1 ориентирован в направлении A, прибор П2 ориентирован в направлении B. Такую конфигурацию приборов мы обозначим так:

{A, B} – слева от запятой указана ориентация прибора П1, справа – ориентация прибора П2.

Аналогичным образом обозначим и другие возможные конфигурации: {A, C}, {A, A}, {B, A} и так далее.  

Эксперимент будем проводить так. В каждой попытке случайным образом ориентируем приборы в одну из девяти возможных конфигураций, «выстреливаем» ЭПР-пару и фиксируем результат. Напомню, в эксперименте мы собираем статистику, поэтому попыток должно быть много, чем больше, тем лучше.

В каждой из шести конфигураций, в которых ориентации приборов не совпадают, возможны четыре исхода. Например, в конфигурации {A, B} показанной на рисунке 3.1, возможны следующие исходы:

[A⁺, B⁺] – в П1 и П2 сработали плюс-детекторы;

[A⁺, B^–] – в П1 сработал плюс-детектор, в П2 сработал минус-детектор;

[A^–, B⁺] – в П1 сработал минус-детектор, в П2 сработал плюс-детектор;

[A^–, B^–] – в П1 и П2 сработали минус-детекторы.

Аналогично будем обозначать исходы, полученные в прочих конфигурациях: [С⁺, B⁺], [В^–, А⁺] и так далее. Не трудно посчитать, что всего для «разнонаправленных» конфигураций возможны 24 разных исхода.

В каждой из конфигурациях с одинаковой ориентацией приборов возможны только два исхода (кто не понял почему – освежите в голове результаты опыта на рисунке 2.1). Например, для ориентации приборов {A, А} возможны такие два исхода:

[A⁺, А^–]

[A^–, А⁺]

Исходы такого типа, коих для трёх «параллельных» конфигураций может быть всего шесть, мы в нашу статистику включать не будем. Но они послужат для контроля того, что наша экспериментальная установка работает правильно. Ведь, во-первых, если нам время от времени будут встречаться исходы типа  [B⁺, B⁺] или [С^–, С^–], значит, наш источник ЭПР-пар или приборы «глючат», на одинаковых ориентациях приборов мы должны получать только противоположные результаты. Во-вторых, если после большого числа «выстрелов» обнаружится некоторый «перекос» в пользу одного из «параллельных» исходов (допустим, количество исходов [A⁺, А^–] окажется значительно большим, чем количество исходов [B⁺, B^–]), то это будет означать, что спины протонов, выпускаемых ЭПР – источником, распределены по углу неравномерно. То есть, не совсем случайно. И «во-первых», и «во-вторых» делают недостоверными результаты всего эксперимента.

Теперь внимательно, переходим к ключевой задаче: выводу неравенства Белла. Попробуем предсказать результаты нашего эксперимента в рамках классического подхода. Мы предполагаем, что каждый протон ЭПР-пары несёт в себе X-параметр, однозначно предопределяющий результат прохождения ПШГ, ориентированного определённым образом. Иными словами, в протоне «записана» его реакция на любую ориентацию прибора. Скажем, в нашем эксперименте протон 1 может быть «запрограммирован», например, таким образом:

- в приборе с ориентацией {A} идти в плюс-канал (X = +1 для направления A);

- в приборе с ориентацией {B} идти в плюс-канал (X = +1 для направления B);

- в приборе с ориентацией {C} идти в минус-канал (X = -1 для направления С).

Эту «программу» будет удобно коротко записать так:

<A⁺, B⁺, C^–>  

Знак X-параметра для каждого направления показан соответствующим верхним индексом. Обращаю внимание: возможные конфигурации приборов мы обозначили фигурными скобками, результаты измерений – квадратными скобками, а возможные «программы» протонов – угловыми скобками.

Разумеется, в рамках таких классических «рассуждений» мы полагаем также, что в протоне «записано» значение X-параметра и для всех прочих направлений ориентации прибора. Но на результаты нашего эксперимента влияют значения X-параметра только для направлениий  A, B, C. С этой точки зрения все протоны мы можем разделить на восемь «сортов». Тут не буду «экономить бумагу» и перечислю их все:

<A⁺, B⁺, C⁺>

<A⁺, B⁺, C^–>

<A⁺, B^–, C⁺>

<A⁺, B^–, C^–>

<A^–, B⁺, C⁺>

<A^–, B⁺, C^–>

<A^–, B^–, C⁺>

<A^–, B^–, C^–>

Важно помнить ещё и то, что мы имеем дело с ЭПР-парами, в которых протон 1 и протон 2 для одинаково ориентированных приборов всегда дают противоположные результаты. Это должно  означать, что X-параметры двух ЭПР-протонов для одного направления всегда противоположны по знаку. Например, если протон 1 «запрограммирован так: <A⁺, B⁺, C^–>, то протон 2 обязательно «запрограммирован» противоположно: <A^–, B^–, C⁺>.

Дальше...