eslitak (eslitak) wrote,
eslitak
eslitak

Categories:

Неравенства Белла - часть 2.

              Это четвёртый пост о неравенствах Белла. Начало здесь:

              Введение
              Часть 1.1.
              Часть 1.2.

Часть 2. ЭПР - пары

Может, это покажется занудством, но я считаю необходимым ещё раз уточнить, что же мы будем экспериментально проверять. Итак, у нас имеется система, включающая в себя  протон и прибор, который может выдать только один из двух результатов измерения. Нам надо выяснить, имеется ли в этой системе скрытый параметр, предопределяющий результат измерения заранее. Встанем временно на сторону "детерминистов" и сделаем некоторые предположения о природе этого икс-параметра, или просто "X".

Во-первых, мы можем считать, что икс-параметр может иметь только два значения:

X = +1 (у тех протонов, которым суждено попасть в плюс-канал);

X = -1 (у тех протонов, которые попадут в минус-канал).

Или вообще можем считать, что X-параметр может быть либо положительным, либо отрицательным.

Во-вторых, мы знаем, что распределение X-параметра по ансамблю протонов зависит от угла α (напомню - это угол между направлением спина протона и ориентацией прибора).

Переведём эту фразу с "научного" на "русский". Ансамблем называют набор частиц, у которых одна или несколько характеристик идентичны. В нашем случае ансамбль - это набор протонов с одинаковым направлением спина. Например, такой ансамбль протонов мы получали в плюс-канале П1 в предыдущих опытах (рисунки 1.7, 1.9). А "распределение по ансамблю" - это среднее относительное количество протонов с положительным и отрицательным значением X-параметра в этом ансамбле. Например, мы знаем, что для всех протонов, у которых направление спина совпадает с ориентацией прибора, X-параметр положительный. А в ансамбле с α = 90° у половины протонов положительный Х-параметр, а у половины - отрицательный. По сути дела, получается, что формулы (ф. 1.3), (ф. 1.4) как раз определяют функцию распределения положительного и отрицательного Х-параметра по ансамблю протонов для всех возможных значений угла α.

Короче, в рамках классического подхода мы предполагаем, что результат прохождения протона через ПШГ определяется X-параметром, который, в свою очередь, зависит от угла α. При этом у разных протонов с одинаковым направлением спина форма зависимости X от α может быть различной, именно поэтому мы и получаем разные результаты для одинаково ориентированных протонов.

В рамках квантового подхода мы полагаем, что результат прохождения протона через ПШГ – сугубо случайный процесс. Но вероятность получения того или иного исхода зависит от угла α. При этом все протоны с одинаковым направлением спина идентичны.  

Какой из этих подходов правильный? Ответить на этот вопрос нам помогут ЭПР-пары частиц.

«ЭПР» означает «Эйнштейн, Подольский, Розен». Дело в том, что некогда эти трое физиков придумали парадокс, который должен был, по их представлению, показать неполноту квантовомеханического описания природы. В суть ЭПР-парадокса мы сейчас вникать не будем, скажем только, что в нём рассматривается поведение пары взаимосвязанных частиц. Предположим, что у нас есть некая частица «A», которая распадается на две частицы «B» и «C». Согласно закону сохранения, (векторная) сумма импульсов частиц «B» и «C» будет равна импульсу исходной частицы «A». В частности, если импульс частицы «А» в момент распада был равен нулю, то импульсы частиц «B» и «C» будут равны по абсолютной величине, но противоположны по направлению. То есть, импульсы продуктов распада – частиц «B» и «С», жестко взаимосвязаны. Вот эти взаимосвязанные частицы «B» и «C» и называют ЭПР-парой.

Момент импульса, или, в случае частиц – спин, тоже подчиняется закону сохранения. Значит, и спины частиц ЭПР-пары тоже жестко взаимосвязаны. Если суммарный спин ЭПР-пары равен нулю, то спины каждой из частиц пары равны по величине и противоположны по направлению в пространстве. Мы будем иметь дело как раз с такими ЭПР-парами протонов. Такую пару можно получить, если выстрелить протоном в атом водорода. Впрочем, это процесс мы здесь изучать не будем, просто считаем, что у нас имеется источник ЭПР-пар протонов. Чтобы убедиться, что наш источник работает правильно и генерирует именно ЭПР-пары, проделаем следующий опыт (рисунок 2.1).

Источник ЭПР-пар, а также приборы Штерна-Герлаха П1 и П2 расположены вдоль одной оси, на рисунке это ось X. П1 и П2 могут поворачиваться вокруг оси X. В каждой попытке источник выпускает пару протонов. Один протон летит в П1, второй – в П2. В этом опыте мы ориентируем П1 и П2 параллельно, то есть поворачиваем их на одинаковый угол α относительно оси Z. Теперь сделаем серию «выстрелов» и убедимся, что детекторы всегда срабатывают «в противофазе». Если протон 1 уходит в плюс-канал П1 (срабатывает D1+), то протон 2 обязательно уходит в минус-канал П2 (срабатывает D2-). И наоборот, если протон 1 уходит в минус-канал П1, то протон 2 обязательно окажется в плюс-канале П2.

Повернём приборы на какой-нибудь другой угол и снова «постреляем» ЭПР-парами. Результат тот же: детекторы срабатывают в противофазе. И такой же результат будет для любого угла α. Мы убедились: если ориентации приборов П1 и П2 одинаковы, то результаты измерения спинов протонов жестко коррелируют между собой. Значит, мы действительно имеем дело с ЭПР-парами.

Раз уж я употребил такое учёное слово – «коррелируют», то я должен рассказать, что такое корреляция. Вы, конечно, и так знаете, что корреляция - это взаимосвязь между различными событиями, явлениями или процессами. Но корреляция может быть сильной и слабой, поэтому имеет смысл ввести количественную меру корреляции. Давайте сделаем это на нашем примере. Смотрите, в принципе, в опыте могло бы быть четыре исхода каждой попытки:

1)    (+,+) – срабатывают детекторы D1+ и D2+;

2)    (+,–) – срабатывают детекторы D1+ и D2-;

3)    (–,+) – срабатывают детекторы D1- и D2+;

4)    (–,–) – срабатывают детекторы D1- и D2-.

Если бы никакой корреляции между результатами измерения П1 и П2 не было, то все четыре исхода были бы равновероятны.  Если бы была полная «положительная» корреляция (результаты измерений П1 и П2 всегда совпадают), то  мы получали бы только исходы 1 и 4. Если бы была полная «отрицательная» корреляция, или, как ещё говорят – «антикорреляция» (результаты измерения всегда противоположны), то  мы получали бы только исходы 2 и 3. В нашем опыте мы как раз наблюдали полную антикорреляцию. Но возможны ещё «промежуточные» случаи. Например, если бы в двух третях попыток мы бы получали исходы 1 или 4, а в оставшейся трети – исходы 2 или 3, то мы бы говорили о не полной, или не строгой корреляции. Из таких соображений в теории вероятности вводится такая величина – коэффициент корреляции. В нашем случае формула для вычисления коэффициента корреляции выглядит так:

где:

N(+,+) – количество попыток, когда оба у обоих приборов срабатывает плюс-канал;

N(–,–) – количество попыток, когда оба у обоих приборов срабатывает минус-канал;

N(+,–) – количество попыток, когда у П1 срабатывает плюс-канал, а у П2 – минус-канал;

N(–,+) – количество попыток, когда у П1 срабатывает минус-канал, а у П2 – плюс-канал;

N – общее количество попыток.

То же самое можно записать по-другому:

KC = P(+,+) + P(–,–) – P(+,–) – P(–,+)       (ф. 2.2)

где символом «P» обозначены вероятности соответствующих исходов.

Видно, что для случая полной корреляции KC = 1. При полной антикорреляции KC = – 1. Если корреляции нет совсем, тогда KC = 0. При неполной корреляции значение KC  будет лежать где-то между нулём и ±1. Понятно, что чем слабее корреляция, тем ближе значение KC к нулю.

И ещё формулу для коэффициента корреляции можно записать так:

KC = P(совп) – P(разн)        (ф. 2.3)

где

P(совп) = P(+,+) + P(–,–)  количество попыток, в которых результаты измерений совпадают;

P(разн) = P(+,–) + P(–,+) количество попыток, в которых результаты измерений противоположны.

В той форме неравенства Белла, которую мы дальше будем изучать, коэффициент корреляции в явном виде не используется. Но я хотел бы, чтобы вы чётко понимали, что такое корреляция и как она измеряется. К тому же, если вы захотите ещё чего-нибудь почитать по теме, эта информация пригодится.

Возвращаемся к нашим «баранам», то есть, ЭПР-парам протонов. Мы выяснили, что при одинаковой ориентации П1 и П2 коэффициент корреляции всегда равен минус-единице. А как будет обстоять дело при разной ориентации приборов? Выясним это с помощью следующего эксперимента (рис. 2.2).

Схема та же, что и в опыте на рисунке 2.1. Но теперь мы сориентируем прибор П1 по оси Z и не будем его трогать. А прибор П2 будем поворачивать вокруг оси X на различные углы α Для каждого значения угла «отстреляем» длинную серию ЭПР-пар и посчитаем вероятности разных исходов, а также вероятности P(совп)P(разн) и заодно коэффициент коллеляции Kc. Потом построим график, как мы уже делали в одном из предыдущих опытов (рисунок 1.7 в первой части). Получится вот такая картина (рисунок 2.3).

А вот так будут выглядеть формулы для показанных на графике зависимостей:

Вообще, все эти зависимости, полученные экспериментальным путём, мы могли бы вывести теоретически, используя формулы (ф. 1.3), (ф. 1.4), а также результаты опыта, показанного на рисунке 2.1. Но я не буду приводить здесь этот вывод, желающие себя проверить могут попробовать сделать это самостоятельно.

Отметим, что строгая антикорреляция между двумя протонами ЭПР-пар, точнее, между результатами измерений приборов П1 и П2, наблюдается при α = 0°, то есть, когда ориентации приборов совпадают. Строгая корреляция наблюдается при α = 180°, когда ориентации приборов противоположны. При α = 90° или α = 270°, когда ориентации приборов перпендикулярны, корреляции нет совсем. А при всех прочих значениях углов имеет место неполная корреляция.

Ну всё, теперь мы достаточно теоретически «подкованы», чтобы осмыслить неравенства Белла. Этим мы и займёмся в следующей части.




            Продолжение



Tags: Белл, физика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 11 comments