eslitak (eslitak) wrote,
eslitak
eslitak

Category:

Дурная бесконечность?

Нарисовался вот такой математический парадокс. Прошу френдов, не чуждых математики, подсказать, где я накосячил в рассуждениях? 

Итак, допустим, нам предстоит случайно выбирать одно число из бесконечного множества натуральных чисел. Давайте для удобства будем называть выбираемое число номером.

Для начала поставим вопрос так: какова вероятность верно предсказать, какой номер мы выберем? Ответ очевиден: эта вероятность равна нулю. Тут никакого парадокса нет: мы выбираем из бесконечного количества равновероятных вариантов, поэтому нет ничего удивительного в том, что  правильно предсказать результат выбора мы не сможем.

Теперь поставим вопрос немного по-другому: какова вероятность верно предсказать, что случайно выбранный номер окажется меньше определённого конечного числа Q? С точки зрения теории вероятности ответ такой же: вероятность равна нулю. Ведь какое бы число Q мы не взяли, в интервале от 1 до Q окажется конечное количество номеров, а в интервале от Q до бесконечности – бесконечное количество.

Но, с другой стороны, какой-то конкретный номер N мы выберем, и он определённо окажется меньше всех (конечных!) чисел, следующих за ним: N+1, N+2 и так далее. В этом и заключается парадокс. Нам ведь ничто не мешало выбрать в качестве числа Q, предположим, число N+10, и тогда бы мы предсказали правильно, не смотря на то, что теория вероятности это запрещает!

Замечу, что второй случай принципиально отличается первого. В первом случае мы пытаемся предсказать один вариант из бесконечного числа возможных и равновероятных вариантов. Во втором случае мы пытаемся предсказать один вариант из двух возможных:

а) случайно выбранный номер окажется меньше, чем Q;
б) случайно выбранный номер окажется больше, чем Q.

Причём, эти варианты абсолютно не «равноправны»: для любого конечного Q вероятность варианта «а» бесконечно близка к нулю, а вероятность варианта «б» бесконечно близка к единице. И тем не менее, при выборе ВСЕГДА случается именно вариант «а», ведь выбранной номер заведомо меньше какого-то конечного Q!

Предвижу такое возражение: физически реализовать выбор из множества с бесконечным числом элементов невозможно, а значит и говорить не о чем.

Разумеется, невозможно реально провести такой эксперимент. Нельзя построить «лотерейный барабан» с бесконечным количеством пронумерованных шаров. Но я говорю не о физическом, а о математическом и, наверное, философском парадоксе. В математике бесконечное множество натуральных чисел реально (в определённом смысле) существует, и ничто не запрещает нам проводить с ним мысленные эксперименты.
Tags: вопрос, математика
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 27 comments