?

Log in

No account? Create an account

eslitak

Previous Entry Поделиться Next Entry
10:00 pm: Квантовый ликбез 24. Квантовые гейты.
Предыдущие посты

Рассуждая о классических компьютерах, мы говорили, что любое, сколь угодно сложное вычисление, может быть организовано с помощью ограниченного базисного набора элементарных операций - гейтов. То же самое справедливо и для квантовых вычислений. С некоторыми квантовыми гейтами мы уже бегло ознакомились, когда изучали квантовую телепортацию. Теперь давайте немного эту информацию систематизируем.


Начнём с однокубитных операций. Классический бит может находиться в состоянии либо «0», либо «1», третьего, как говориться, не дано. Стало быть, единственное, что с битом можно сделать, это изменить его состояние на противоположное.

Маленькое уточнение: на самом деле можно ещё принудительно установить бит в состояние «0» или «1». Это операции записи, мы их будем применять, конечно, но в число гейтов включать не будем. Также оставим за скобками вариант, формально эквивалентный применению «единичного» гейта, а на практике заключающийся в том, чтобы не делать с битом или кубитом ничего.

Итак, с учётом уточнения, существует только один однобитный гейт – «NOT».

Кубит может находится в квантовой суперпозиции групп витруальных вариантов |0〉 и |1〉:



«Доля» каждой из групп определяется двумя комплексными числами - амплитудами вероятности a0 и a1. Эти числа могут быть, в принципе, любыми. Значит, для кубита количество возможных квантовых состояний вида |ψ〉 бесконечно.

Также бесконечно количество разрешенных однокубитных операций, которые, по сути дела, просто определённым образом изменяют значения амплитуд вероятности a0 и a1. При моделировании квантового компьютера будем считать, что мы умеем совершать над кубитом всевозможные однокубитные операции. Единственное ограничение, накладываемое квантовой физикой на такие операции, это требование унитарности. Глубого копать в сторону понятия унитарности нам резона нет, но заметим, что унитарность обеспечивается обратимыми операциями, которые мы изучали в предыдущей части. Для более продвинутых скажем, что унитарные операции математически идентичны повороту вектора квантового состояния в условном пространстве, без изменения длины (модуля) вектора (смотрим часть 17-4).

На практике операции реализуются путём «дозированных» физических воздействий на кубит, типа тех, что мы изучали в части 16. Любое такое воздействие, напомню, описывается матрицей следующего вида:



Два числа в верхней строке показывают, как воздействие-операция изменяет группу |0〉. Два числа в нижней строке показывают, как изменяется группа |1〉. То есть, в общем случае для описания любой однокубитной операции достаточно этого набора из четырёх чисел. Для удобства некоторым, наиболее часто используемым операциям и их матрицам, присвоены особые обозначения.

Например, гейт [X], он же - квантовый «NOT» – гейт, описывается вот такой матрицей:



Давайте ещё раз постмотрим, как гейт [X] воздействует на состояние |ψ〉 (ф. 24.1.):



В результате воздействия [X] группы |0〉 и |1〉 «обменялись» амплитудами вероятности. Или можно взглянуть на это дело в другом ракурсе: воздействие [X] превратило группу |0〉 в группу |1〉, а группу |1〉, наоборот, в группу |0〉. Для полной ясности изобразим действие гейта [X] на следующей диаграмме:



Если забыли, как надо понимать такие диаграммы, посмотрите ещё раз часть 21-2.

В дальнейшем нам предстоит рисовать квантовые вычислительные схемы. Они по виду будут аналогичны классическим схемам (см. часть 22). В частности, однокубитные операции будем изображать в виде прямоугольников с символом операции внутри. Как показано на том же рисунке 24.1.

Ещё одна важная однокубитная операция - гейт Адамара [H]. Вот матрица это гейта:



Особенность этого гейта заключается в том, что он, с одной стороны, превращает определённые состояния кубита |0〉 и |1〉 в состояния с максимальной степенью неопределённости:



А с другой стороны, наоборот, превращает максимально неопределённое состояние в определённое, например:



Воздействие гейта [H] на произвольное однокубитное состояние типа (ф. 24.1) показано на следующей диаграмме:



Нужны, наверное, пояснения. На первом рисунке (считаем слева на право) показано исходное состояние кубита. Второй и последующий рисунки – состояние после воздействия [H]. На третьем рисунке области диаграммы упорядочены. Также заштрихованы «кусочки» группы |1〉 с положительным и отрицательным знаком, которые в силу суперпозиции «съедают» друг друга. На четвёртом рисунке состояние кубита показано уже без этих кусочков. Ну а пятый рисунок просто масштабирован по высоте, чтобы вы могли наглядно сравнить исходное состояние и то, что получилось в результате воздействия.

Позже нам потребуются ещё кое-какие однокубитные гейты, мы их рассмотрим по мере необходимости.

Из двухкубитных операций мы задействуем всего одну: гейт «CNOT». Если матрица однобитной операции имеет размерность 2х2 (четыре числа), то матрица двухкубитной операции имеет уже размерность 4х4 (16 чисел). Но физический смысл чисел в матрице тот же: каждая строка матрицы показывает, в какой пропорции воздействие «расщепляет» то или иное базисное двухкубитное состояние. Матрица гейта «CNOT» выглядит так:



При этом подразумевается, что:

  - первая (верхняя) строка показывает, как воздействие расщепляет базисное состояние |00〉;
  - вторая строка – расщепление базисного состояния |01〉;
  - третья строка – расщепление базисного состояния |10〉;
  - четвёртая строка – расщепление базисного состояния |11〉.

Логика работы гейта «CNOT» заключается в следующем. Операция никак «не затрагивает» группы |00〉 и |01〉, те, где контролирующий кубит равен нулю. А в тех группах, в которых контролирующий кубит равен единице – |10〉 и |11〉 – операция инвертирует значение рабочего бита. Иными словами, гейт «CNOT» превращает базисное состояние |10〉 в состояние |11〉 и наоборот.

На квантовых схемах гейт «CNOT» изображается так же, как и на классических:



В такой конфигурации кубит №1 - контролирующий, кубит №2 - «рабочий».

Разбирая классический «CNOT» мы говорили, что состояние контролирующего бита в результате операции не изменяется. Так вот, обращаю особое внимание на то, в квантовом случае ЭТО НЕ ТАК. Точнее, не всегда так. Смотрите, допустим, у нас имеется два кубита, «A» и «B», в следующих чистых состояниях:



Кубиты не запутаны друг с другом. Сепарабельное двухкубитное состояние системы |AB〉 мы можем записать как произведение однокубитных состояний |A〉 и |B〉:



Теперь применим к этим двум кубитам операцию «CNOT». Пусть при этом кубит «А» будет контрольным, кубит «B» – рабочим. В результате операции получаем:



Это уже не сепарабельное, а самое что ни на есть запутанное состояние. Таким образом мы запутали два «чистых» кубита в единую двухкубитную систему. Состояние и рабочего, и контролирующего кубита изменились - были чистыми, стали смешанными.

По сложившейся традидии изобразим работу гейта «CNOT» над состоянием (ф. 24.2) в виде диаграммы:



На правой диаграмме символы «А» и «B» обведены овальчиком – это чтобы показать, что кубиты запутались.

Однокубитные гейты в купе с двухкубитным гейтом «CNOT» уже составляют базис операций, достаточный для организации любых квантовых вычислений с кубитовым регистром какого угодно размера. Однако мы будем использовать при построении квантового компьютера ещё трёхкубитный гейт «CCNOT», который называют ещё «гейт Троффоли». Можно было бы обойтись и без него, но тогда вычислительные схемы будут выглядеть более громоздко и менее «усвояемо».

Матрица трёхкубитной операции «CCNOT» имеет размерность 8х8 (64 числа):



В гейте «CCNOT» два контролирующих кубита и один рабочий. Операция изменяет только те базисные состояния, где оба контролирующих бита равны единице. А именно, заставляет базисные состояния |110〉 и |111〉 «обменяться» амплитудами вероятности (смотрите две нижнох строки матрицы). Остальные шесть базисных состояний гейт «CCNOT» оставляет неизменными.

На схемах гейт «CCNOT» изображают так:



Здесь кубиты №1 и №2 – контролирующие, кубит №3 – рабочий.

Посмотрим, как гейт «CCNOT» действует на некоторое трёхкубитное состояние:



В следующей части мы уже начнём разбираться, как из этих и прочих квантовых гейтов собрать квантовый компьютер.

Продолжение


Tags: ,

Comments

[User Picture]
From:yoginka
Date:Июль 14, 2014 08:26 pm
(Link)
//требование унитарности, то есть, обратимости.//
- Математически некорректно. Правильно было бы сказать не "то есть", а "из которого следует".
Обратимыми могут быть и неунитарные оператороы. Для матриц необходимое и достаточное условие обратимости - невырожденность. Это гораздо более слабое условие, чем унитарность.
From:yoginka
Date:Июль 15, 2014 12:31 am
(Link)
//Иными словами, гейт «CNOT» превращает базисное состояние |10〉 в состояние |10〉 и наоборот.//
- Опечатка?
From:yoginka
Date:Июль 15, 2014 04:13 am
(Link)
А в целом интересно, немного с другой стороны взгляд по сравнению с тем, что читала раньше.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Июль 15, 2014 04:06 pm
(Link)
Спасибо, оба замечания учёл.
[User Picture]
From:yoginka
Date:Июль 16, 2014 06:56 pm
(Link)
А Вам спасибо за некорректность насчет унитарности и обратимости. Она подтолкнула задуматься над философским вопросом, связанным с этими вещами. (Не знаю, интересно ли вам это, но напишу).

Унитарность "нужна", так как она обеспечивает сохранение нормы, что, в свою очередь, нужно, чтобы сохранялась единичная сумма вероятностей. А обратимость получается "бесплатно" как следствие унитарности. Но ведь на обратимости потом строится все здание квантовой механики (и не только ее). Все, что противоречит обратимости, либо сразу отвергается, либо подлежит всяким корректировкам, чтобы примирить это с обратимостью. Возникают всякие парадоксы, связанные с энтропией и стрелой времени, которые худо-бедно пытаются разрешить, но все это не звучит (для меня) убедительно. Вот я и подумала, что может быть не все в порядке с обратимостью квантово-механических преобразований.

Вот что смущает: может, существует более слабое условие, чем унитарнось, но все-таки сохраняющее норму? То есть сохраняющее скалярное произведение вектора на себя, но, вообще говоря, не обязательно сохраняющее скалярное произведение разных векторов. Может, это все, что реально нужно для единичной суммы вероятностей. Математически лень пока проверять. Может, Вы что-то знаете на этот счет? А если это так, то не потеряна ли будет обратимость как обязательное требование для преобразований? Тогда и со стрелой времени не будет проблем.

Возможно, все это бред и легко оповергается. Может, отослав комментарий, и сама пойму это :) Обычно не пишу такие сомнительные рассуждения.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Июль 17, 2014 05:56 pm
(Link)
ИМХО, унитарность вообще не является физическим качеством мира, она является свойством описывающей мир математической модели. Равно как и скалярное произведение. Физическими же качествами являются "единичная сумма вероятностей" и детерминированность эволюции квантового состояния.

Между тем, неунитарные процессы, сохраняющие норму, тоже физически существуют: это измерение и связанный с ним коллапс волновой фнкуции. Или, как говорят завзятые квантовые механики - проекция на базисное квантовое состояние. Результат такого преобразования необратим, разумеется. Я, кстати, интуитивно уверен, что "корни" энтропии и "стрелы времени" лежат именно здесь.

> Обычно не пишу такие сомнительные рассуждения.

Нормальные рассуждения, почему бы не пофилософствовать иногда? :)
[User Picture]
From:yoginka
Date:Июль 17, 2014 06:52 pm
(Link)
//Я, кстати, интуитивно уверен, что "корни" энтропии и "стрелы времени" лежат именно здесь. //
- Я тоже так чувствую. Ведь обратимость по определению означает лишь то, что можно вычислить распределение вероятностей "назад", а это подразумевает, что и в прошлом есть неопределенность, как и в будущем. Что не имеет никакого смысла, если был акт измерения/наблюдения. И даже читала, что если бы не измерения (в широком смысле, т.е. существование наблюдателей, взаимодействий с другими системами), все так и оставалось бы "непроявленным", т.е. не существовало бы в виде объектов нашей "затвердевшей" реальности.

А совсем недавно (кажется, в начале этого года) Хокинг написал статью, где утверждалось, что прошлое так же неопределенно, как и будущее. Видела только заголовки, все не доходили руки прочитать, так что не вполне уверена, что там он имел в виду. Может, сегодня попозже под горячую руку посмотрю.



[User Picture]
From:eslitak
Date:Июль 17, 2014 07:09 pm
(Link)
Свой взгляд на это дело я излагал здесь:

http://eslitak.livejournal.com/237286.html

Исходя из седьмого постулата прошло действительно не предопределено в части тех событий, следствия которых пока никто не пронаблюдал.
[User Picture]
From:yoginka
Date:Июль 18, 2014 08:46 pm
(Link)
Да, помню это дерево с ветками.
Разработано LiveJournal.com