?

Log in

No account? Create an account

eslitak

Previous Entry Поделиться Next Entry
10:02 pm: Квантовый ликбез 20-3. Системные квантовые состояния
Предыдущие посты

Пардон, забыл рассказать одну важную вещь, поэтому придётся сделать эту добавку к части 20. Следует подробнее разобрать особенности измерения многокубитных состояний.

Напомню постулат 6: измерение уменьшает неопределённость квантового состояния ровно на ту долю информации, которую это самое измерение предоставляет. Это правило действует всегда, и для однокубитных автономных, и для многокубитных системных состояний. Для одиночных кубитов это выражается в том, что измерение приводит кубит в определённое относительно следующего аналогичного измерения состояние.

Да, заодно оговорим ещё раз, что у нас понимается под «определённым» и «неопределённым» состоянием. Это не то же самое, что «известное» и «неизвестное» (экспериментатору) состояние, нет. Под неопределённостью в квантовой механике понимается объективная возможность получения при измерении больше одного результата. На мой взгляд, это не слишком удачная терминология, но раз уж она прижилась, будем ей пользоваться. Так вот, в однокубитном случае определённое состояние кубита – это когда результат измерения предопределён. Например, следующее состояние кубита «A»:



является неопределённым, потому что в результатом измерения может быть как 〈0〉, так и 〈1〉.

Если мы измерим этот кубит, то состояние станет определённым. Например, если в результате измерения мы получим результат 〈0〉, кубит «автоматом» коллапсирует в определённое состояние:



При следующем аналогичном измерении в том же измерительном базисе мы определённо опять получим результат 〈0〉. Так проявляет себя шестой постулат в однокубитном случае.

Теперь рассмотрим двухкубитное системное состояние, например, такое:



Отметим, что это состояние является запутанным: каждый из кубитов пребывает в смешанном состоянии.

Кстати, имеется очень простой способ, позволяющий отличить запутанное двухкубитное состояние от сепарабельного, то есть, незапутанного. Посвятим этому делу несколько строк. Формула любого двухкубитного чистого состояния записывается так:



Ошибки в нумерации формулы нет, это повторение выражения из части 20-1. Так вот, состояние является сеперабельным тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

a00*a11 = a01*a10

В справедливости этого утверждения легко убедиться, взглянув ещё раз на выражение (ф. 20.7) из части 20-2.    

Но вернёмся к измерению состояния (ф. 20.14). Допустим, сначала мы измеряем кубит «A». Результат измерения не
предопределён, но вероятности предопределены. Результат
〈0〉 при измерении кубита «A» мы получим, если «попадём» в группы
|00〉 или |01〉. Вероятность такого события можно посчитать, просто сложив вероятности попадания в каждую из этих групп:



Аналогично можно посчитать вероятность получить 〈1〉 при измерении кубита «A»:



Мелким шрифтом: Если бы мы первым измеряли не кубит «A», а кубит «B», вероятности результатов были бы следующими:



Проверьте себя: вам понятно, почему?

Итак, пусть мы первым измерили кубит «A». Что при этом происходит с кубитом «B»? Это зависит от того, какой результат мы получили при  измерении кубита «A». Допустим, мы получили 〈0〉. При этом, как и положено, кубит «A» перешел в определённое чистое состояние |0〉. Если же говорить о двухкубитном состоянии (ф. 2.14), то теперь намизвестно, что группы |10〉 или |11〉 нереализуемы. После получения этого результата двухкубитное состояние выглядит так:



Видите, измерение кубита «A» с результатом 〈0〉 «вычеркнуло» из числа реализуемых все группы системных виртуальных вариантов, в которых измерение кубита «A» должно было дать результат 〈1〉. Амплитуда вероятности групп |10〉 или |11〉 стала равной нулю, и состояние (ф. 20.14) коллапсировало в состояние (ф. 20.15).

Для порядка следует нормировать эту формулу, домножив все амплитуды вероятности на одно и то же число. Такое, чтобы сумма квадратов амплитуды вероятности равнялась единице. В данном случае это число . После нормировки получаем:



Это двухкубитное состояние сепарабельно, оно легко разбивается на два однокубитных чистых состояния:



На всякий случай я проставил индексы, чтобы было понятно, где тут какой кубит. Теперь каждый из кубитов пребывает в чистом состоянии:



Первое измерение устранило неопределённость состояния кубита «A». Состояние кубита «B» осталось неопределённым. Но оно тоже изменилось – было смешанным, стало чистым. Изменились и вероятности результатов при измерении кубита «B». Если бы мы измеряли этот кубит первым, то вероятности были бы (см. мелкий шрифт выше):

- четыре десятых для результата 〈0〉;
- шесть десятых для результата 〈1〉.

А если мы измеряем кубит «B» после того, как получили 〈0〉 при измерении кубита «A», то, согласно (ф. 20.19), вероятности другие:

- одна третья для результата 〈0〉;
- две третьих для результата 〈1〉.

В статьях по квантовой механике вы, возможно, встречали такое выражение: «проекция состояния при  измерении» и не
понимали, о чём речь – я и сам через это прошел. Так вот, сейчас мы имели дело именно с проекцией состояния: измерение кубита «
A» спроецировало состояние пары кубитов (формула ф. 20.14) в однокубитное состояние кубита «B» (ф. 20.19).

Разумеется, результат проекции зависит от результата первого измерения. Если бы мы при измерении кубита «A» получили не 〈0〉 а 〈1〉, то двухкубитное состояние (ф. 20.14) проецировалось бы в следующее состояние кубита «B»:



Почему так – прикиньте самостоятельно.

Рассмотрим теперь действие измерения на такое вот состояние:



Это одно из так называемых белловских состояний – оно соответствует состоянию ЭПР-пары* частиц-кубитов. Мы уже рассматривали такую пару частиц, когда изучали квантовую корреляцию в части 14.

Белловское состояние максимально запутано: кубиты ЭПР-пары находятся в полной взаимной корреляции. В такой ситуации при измерении реализуемы только две группы: |01〉 и |10〉. Если мы измерим один кубит, то реализуемой остаётся только одна группа. Значит, состояние второго кубита тоже определится, хотя его мы пока не измерили. Например, если при измерении кубита «A» мы получим 〈0〉, тогда реализуемой остаётся только группа |01〉. Кубит «B» переходит из смешанного состояния в определённое чистое состояние 〈1〉. И наоборот, если при измерении кубита «A» получен результат 〈1〉, кубит «B» переходит в состояние 〈0〉.

Если же мы имеем дело с сепарабельным двухкубитным состоянием, в котором кубиты не коррелируют, тогда измерение одного кубита на состоянии второго кубита никак не влияет. Собственно, сепарабельное двухкубитное состояние является системой лишь условно. Физически это два отдельных, не взаимодействующих квантовых объекта.   

Аналогично обстоит дело и с более сложными системами: трёхкубиными, четырёхкубитными и так далее. Измерение одного кубита всегда выводит его из запутанности с остальными кубитами (если таковая имела место) и приводит в одно из двух чистых базисных состояний. Квантовое состояние оставшейся части системы кубитов скачкообразно изменяется строго определённым образом. Каким именно - это зависит от того, какой результат измерения мы получили. Если же измеряемый кубит не запутан с прочими кубитами системы, то при его измерении с остальными кубитами ничего не происхоит.

Логика математического описания многокубитных состояний такая же, как и в двухкубитном случае. Разве что формулы используются более длинные.
______________________
*ЭПР - Энштейн, Подольский, Розен - эта славная компания в своё время предложила мысленный эксперимент с кореллирующими парами частиц, который, по их мнению, должен был показать неполоту квантовой механики. ЭПР ошиблись: реальные эксперименты с парами их имени показали, наоборот, несостоятельность классического детерминизма. Подробнее об этом можно почитать здесь.

Продолжение

Tags: ,
Разработано LiveJournal.com