?

Log in

No account? Create an account

eslitak

Previous Entry Поделиться Next Entry
10:16 pm: Квантовый ликбез - 13. Принцип неопределённости.
Предыдущие посты

Продолжаем разговор о том, как измерение влияет на квантовое состояние. Мы выяснили, что измерение уменьшает неопределённость. Конечно, то же самое можно было бы сказать и о классическом измерении, ведь оно для того и осуществляется, чтобы что-то определить. Однако, между классическим и квантовым измерением есть принципиальная разница. Классическое измерение уменьшает неопределённость лишь в том смысле, что оно предоставляет нам информацию о текущем состоянии системы. При этом в процессе классического измерения состояние системы не меняется. При квантовом же измерении происходит следующее:
1) В классической реальности: реализуется одного из множества виртуальных состояний одной из множества реализуемых виртуальных групп.
2) В классической реальности: наблюдатель получает информацию именно об этом и только об этом реализовавшимся состоянии.
3) В квантовой реальности: квантовое состояние скачкообразно меняется. Виртуальная группа состояний, к которой принадлежало реализованное состояние, сохраняется. Все прочие виртуальные группы становятся нереализуемыми.

Короче можно было бы сказать так: классическое измерение уменьшает субъективное незнание, а квантовое измерение уменьшает объективную неопределённость. Чувствуете фундаментальную разницу?  

Надо чётко понимать, что измерение уменьшает неопределённость только того параметра системы, который, собственно, измеряется. Неопределённость прочих параметров системы либо не изменяется никак, либо, наоборот, увеличивается. Последний случай, когда уменьшение неопределённости одного параметра вызывает рост неопределённости другого, мы сейчас и рассмотрим.
     

Измерять будем координаты частицы. Cначала проделаем пару "подготовительных" экспериментов, показанных на рисунке 13.1.

Имеется излучатель частиц и регистрирующий экран. "Стреляем" частицей, она попадает в экран и оставляет на нём точечный след. Для обработки результатов выберем такую систему координат: выстрел осуществляется вдоль оси Y, оси X и Z параллельны плоскости регистрирующего экрана.

Сперва сделаем серию "выстрелов" в экран, находящийся поблизости от излучателя, на расстоянии L1 (рис. 13.1-а). Частицы образуют довольно кучное пятно попаданий в окрестностях точки с координатами x = 0, z = 0. Величину отклонения частицы от «нуля» по осям X и Z мы будем рассматривать  как результат измерения, соответственно, координат X и Z в плоскости экрана (для упрощения дальше будем рассматривать только координату X).
Отстреляв достаточное количество частиц, не сложно  построить график распределения вероятности попадания в зависимости от координаты X. Лучше сразу рисовать график модуля (длины вектора) амплитуды вероятности. Он будет выглядеть примерно так, как на рисунке 13.2.


Ширина пятна, в которое может попасть частица, на рисунках 13.1, 13.2 обозначена как  Δx1.
Итак, что мы имеем? В каждом «выстреле» точное значение координаты X не предопределено. Зато предопределено то, что координата будет лежать в диапазоне от до Другими словами, координата X до попадания в экран предопределена с точностью Δx1.
На самом деле, пока ничего "квантового" не наблюдается, аналогичную «неопределённость» мы получили бы, если бы стреляли не частицами, а пулями из ружья. Неидеальность «оружия» и самой «пули» дали бы примерно такой же результат.

Теперь отодвинем экран подальше, на расстояние L2, и снова постреляем. Получается примерно та же картина (рисунок 13.1-б). Теперь неопределённость координаты немного больше: Δx2.  

А что можно сказатьоб импульсе? Частица обладает компонентой импульса Py (проекция вектора импульса на ось Y). Это тривиально, иначе частица просто не долетала бы до экрана. Но нас сейчас интересует другая компонента импульса: Pх. Напрямую мы её здесь не измеряем, но сделать некоторые косвенные выводы можем. Общее соображение такое: вот есть частица, у неё есть какое-то текущее значение координаты X. Если частица обладает импульсом Pх, то в будущем координата X изменится. И по величине этого изменения можно более-менее точно определить значение импульса Pх. То есть, для того, чтобы получить значение импульса, следует измерить координату одной частицы два раза подряд. Но в опытах 13.1-а, 13.1-б, каждом по отдельности, мы этого сделать не можем: частица попадает в экран только один раз. Зато, сравнивая результаты двух опытов, а именно размеры пятен Δx1 и Δx2, мы можем оценить диапазон возможных значений импульсов Pх. Ширину этого диапазона Δpx можно считать  неопределённостью импульса.

Теперь попробуем измерить всё более точно. Поставим два регистрирующих экрана подряд.
Первый - на удалении
L1, второй - на удалении L2. В первом экране прорежем узкую щель шириной Δx3, меньшей, чем Δx1. Задача этой щели такая: мы хотим, чтобы во ВТОРОЙ экран попадали только те частицы, которые в районе ПЕРВОГО экрана отклонялись от «нуля» на величину, не большую чем на . Таким образом, для частиц, прошедших через щель, мы как бы обеспечиваем два последовательных измерения координаты: в районе первого и второго экранов. Зная координату попадания во второй экран, мы можем, в принципе, вычислить импульс, который имела частица на выходе из щели в первом экране. Причём, определить импульс мы можем тем точнее, чем уже щель.

"Постреляем". Какое распределение попаданий мы увидим теперь? Если бы частицы действительно вели себя как "классические" пули, картина попаданий выглядела бы так, как на рисунке 13.3-а.


Но реальный опыт даёт совсем другой результат. Такой, как на рисунке 13.3-б.


Вместо того, чтобы лечь на дальнем экране узкой полосой, попадания, наоборот, размазываются вдоль оси X на ширину  Δx4, значительно большую, чем Δx1. И уж подавно большую, чем Δx3. В чём дело? А дело в том, что щель уменьшает неопределённость координаты (конечно, только для тех частиц, которые попадают в щель), но увеличивает неопределённость импульса Px. Если до щели реализуемые траектории частиц почти параллельны, что говорит о малой неопределённости импульсов Px, то после щели реализуемые траектории  расходятся, как рабочая часть веника (рисунок 13.4).


Если кто-то не понял – здесь нарисован тот же опыт 13.3, только вид сверху в «разрезе» по плоскости XY. ИЧ – излучатель частиц, Э1 – первый экран (который со щелью), Э2 – второй экран.

Так на опыте проявляет себя знаменитый квантовый принцип неопределённости Гейзенберга: чем точнее измеряется координата, тем более неопределённым становится импульс. «Для порядка» приведу его математическую запись:



Здесь:
Δx – неопределённость измерения координаты;
Δpx – неопределённость измерения импульса;
–  постоянная Планка.
Чтобы разобраться в том, откуда берётся этот самый принцип неопределённости, посмотрим, как ведут себя в районе щели виртуальные варианты. В этом нам поможет рисунок 13.5.

Такой метод представления квантовых состояний мы уже применяли в части 10, когда изучали процесс движения частицы в квантовой реальности. Мы говорили там, что группу виртуальных вариантов с одним значением координаты составляет бесконечное число виртуальных вариантов с различными значениями импульсов. Верно и обратное: в группе с одним значением импульса сосредоточены варианты с разными значениями координат. Так вот, синими кружочками показаны виртуальные варианты, каждый из них «привязан» к определённому значению координаты X и импульса Px. Стало быть, вертикальные ряды кружочков соответствуют разным группам в координатном представлении. А горизонтальные ряды – разным группам в импульсном представлении. В каждом кружочке – красная стрелочка, показывающая направления квантового вектора данного виртуального варианта. 

Ясное дело, кружочки со стрелочками – вещь чисто вспомогательная. Они помогают наглядно (надеюсь) понять, почему графики зависимости амплитуд вероятности |A(x)| от координаты и  |A(px)| от импульса выглядят именно так. Мы просто векторно складываем стрелочки одной группы. Длинна получившегося суммарного вектора – это и будет значение амплитуды вероятности для соответствующей координаты или импульса на графике. Этот процесс схематично показан на рисунке для некоторых групп виртуальных вариантов. 

Так вот, слева показано квантовое состояние частицы «на входе», перед щелью. А справа – состояние на выходе, после щели. Щель у нас здесь – это «инструмент», который измеряет координату, то есть, уменьшает её неопределённость. До щели неопределённость составляет Δx1. У нас на рисунке в этот диапазон уложилось семь групп виртуальных вариантов. А после щели неопределённость координаты уменьшается до Δx3. В полном соответствии с шестым постулатом, который мы рассматривали в предыдущей части, все группы виртуальных вариантов, не укладывающиеся в этот диапазон, мгновенно подвергаются деструкции. Вот у нас после щели из семи групп «выживает» только три.    

Вы, конечно же, понимаете, что на самом деле этих групп – бесконечное число, как на входе, так и на выходе. Семь и три – это упрощение, жертва точностью ради наглядности. Более точную картину квантовых состояний можно было нарисовать, взяв, например, 7000 групп на входе и 3000 групп на выходе, но я бы, пожалуй, не осилил рисунок на 70 миллионов кружочков J. Или вообще можно было бы показать всё математически точно с помощью интегралов – дифференциалов, а оно нам надо? Короче, остаётся надеяться, что и с принятым упрощением общий принцип вы поймёте.

Так вот, неопределённость координаты мы уменьшили. Но неопределенность импульса выросла. Посмотрите, на график |A1(px)|: неопределённость импульса составляет Δpx1 – она  достаточно мала, и поэтому на участке от источника до первого экрана частица «летит» почти параллельным пучком виртуальных траекторий. А теперь взгляните на график |A3(px)|: после щели неопределённость импульса увеличивается до Δpx3 (сложите стрелочки в оставшихся кружочках и сами убедитесь), и параллельный пучок виртуальных траекторий превращается в разлапистую «метлу». Впрочем, максимум вероятности всё равно приходится на нулевое значение импульса Px, поэтому наиболее «густо» частицы по-прежнему лягут в центре экрана.

Между прочим, если сузить щель так, что в неё «проскочит» только одна, центральная группа вариантов, то есть, определить координату точно, то импульс окажется совершенно не определён: все возможные значения импульса станут равновероятны. Включая бесконечные, заметьте! Это означает, что если измерить координату частицы абсолютно точно (что на практике невозможно) и при этом умудримся не уничтожить саму частицу, то в тот же миг она «усвистает» неизвестно куда.

Надо заметить, что принцип неопределённости работает не для любых пар наблюдаемых физических величин. Для пары (координата X)/(импульс Px) – работает. Для пары (энергия) /(время) – работает. А вот для пар (координата X)/(координата Y)  или (координата X)/(импульс Py) – не работает. Пара должна быть в определённой «классической» зависимости. Кто-то сомневается, что классическая координата X зависит от классического импульса Px? Но «механизм» принципа неопределённости для любых зависимых пар аналогичен тому, что мы рассмотрели выше на примере координаты и импульса – он вытекает из тех постулатов, что мы ввели раньше. Измеряем одну величину пары – уменьшаем количество реализуемых виртуальных групп этой величины и одновременно увеличиваем количество реализуемых виртуальных групп второй величины.

Продолжение  

Tags: ,

Comments

[User Picture]
From:levyi_botinok
Date:Февраль 26, 2013 11:30 pm
(Link)
Картинки впечатляющие!
Только, если по-честному, имхо, надо бы упомянуть, что после каждого измерения-обрезания требуется что-то типа "перенормировки". То есть из 7000 кружочков остаются 3000, которые тут же размножаются обратно до 7000. Нет?
;)
[User Picture]
From:eslitak
Date:Февраль 27, 2013 04:49 pm
(Link)
Согласен с тем, что этот момент надо как-то отразить. Но лучше тут обойтись без "размножения". Три седьмых от бесконечности - это тоже бесконечность, так что можно не беспокоиться о том, что после щели количество вариантов уменьшится. Хоть через миллион щелей подряд пропусти - всё равно останется бесконечное число вариантов.
[User Picture]
From:levyi_botinok
Date:Февраль 27, 2013 05:59 pm
(Link)
Оно так. Но вкупе со словами об уменьшении неопределенности при каждом измерении, можно предположить, что увеличивая количество измерений мы таки сведем неопределенность к нулю.
Тут диалектика получается: бесконечность уменьшить нельзя, а неопределенность, которую мы, вроде как обозначали через "количество" бесконечных виртуальных вариантов мы как-то уменьшаем...
(Я бы отказался от предыдущего постулата об уменьшении неопределенности при измерениях, как я уже замечал, но хозяин - барин).
[User Picture]
From:eslitak
Date:Февраль 27, 2013 07:35 pm
(Link)
Обдумаю.
Но всё-таки, неопределённость мы обозначали не как количество вариантов, а как количество групп. Если в бесконечной колоде карт только одни пиковые дамы, то при вытягивании карты наугад мы ОПРЕДЕЛЁННО вытащим пиковую даму.
[User Picture]
From:indrih
Date:Март 7, 2013 08:06 am
(Link)
О суспензе уютных kuzmin-kirill & kirill-kuzmin сейчас читайте в в жж chuma3. Говорят, " Жизнь должна и может быть неперестающей радостью. "
[User Picture]
From:wgay
Date:Сентябрь 24, 2017 09:19 am
(Link)
Очень понятное изложение! Т.е. в примере мы отсекаем в щели 1,2,6 и 7-ую горизонтальную группу вариантов из 7-ми и тем самым оставшиеся три виртуальных вектора импульса в каждой группе дают больший разброс, т.к. отсеченные виртуальные вектора, как-то лучшим образом компенсировали ранее друг друга для более меньшего разброса импульса.
Осталось чуть логически непонятно. Если получили больший разброс импульса после первого экрана, что отразилось большим разбросом координаты Х4 на втором экране, то получается и для координаты Х4 поучена бОльшая неопределенность? А график плотности вероятности А3(х) на рисунке такой же узконапрвленный.
Так же все укладывается в классическую картину дифракции волны де Бройля.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Сентябрь 25, 2017 06:11 pm
(Link)
Непосредственно за щелью неопределённость координаты x очень мала, не больше ширины щели. Но неопределённость импульса максимальная, поэтому определённость координаты очень быстро "размывается". Иными словами, за время от момента прохождения щели до момента достижения экрана квантовое состояние частицы изменяется так, что неопределённость координаты увеличивается.

Что касается классической дифракции - да, очень похоже. Ну так корпускулярно-волновой дуализм - вещь общеизвестная.
Разработано LiveJournal.com