?

Log in

No account? Create an account

eslitak

Previous Entry Поделиться Next Entry
04:39 pm: Дурная бесконечность?
Нарисовался вот такой математический парадокс. Прошу френдов, не чуждых математики, подсказать, где я накосячил в рассуждениях? 

Итак, допустим, нам предстоит случайно выбирать одно число из бесконечного множества натуральных чисел. Давайте для удобства будем называть выбираемое число номером.

Для начала поставим вопрос так: какова вероятность верно предсказать, какой номер мы выберем? Ответ очевиден: эта вероятность равна нулю. Тут никакого парадокса нет: мы выбираем из бесконечного количества равновероятных вариантов, поэтому нет ничего удивительного в том, что  правильно предсказать результат выбора мы не сможем.

Теперь поставим вопрос немного по-другому: какова вероятность верно предсказать, что случайно выбранный номер окажется меньше определённого конечного числа Q? С точки зрения теории вероятности ответ такой же: вероятность равна нулю. Ведь какое бы число Q мы не взяли, в интервале от 1 до Q окажется конечное количество номеров, а в интервале от Q до бесконечности – бесконечное количество.

Но, с другой стороны, какой-то конкретный номер N мы выберем, и он определённо окажется меньше всех (конечных!) чисел, следующих за ним: N+1, N+2 и так далее. В этом и заключается парадокс. Нам ведь ничто не мешало выбрать в качестве числа Q, предположим, число N+10, и тогда бы мы предсказали правильно, не смотря на то, что теория вероятности это запрещает!

Замечу, что второй случай принципиально отличается первого. В первом случае мы пытаемся предсказать один вариант из бесконечного числа возможных и равновероятных вариантов. Во втором случае мы пытаемся предсказать один вариант из двух возможных:

а) случайно выбранный номер окажется меньше, чем Q;
б) случайно выбранный номер окажется больше, чем Q.

Причём, эти варианты абсолютно не «равноправны»: для любого конечного Q вероятность варианта «а» бесконечно близка к нулю, а вероятность варианта «б» бесконечно близка к единице. И тем не менее, при выборе ВСЕГДА случается именно вариант «а», ведь выбранной номер заведомо меньше какого-то конечного Q!

Предвижу такое возражение: физически реализовать выбор из множества с бесконечным числом элементов невозможно, а значит и говорить не о чем.

Разумеется, невозможно реально провести такой эксперимент. Нельзя построить «лотерейный барабан» с бесконечным количеством пронумерованных шаров. Но я говорю не о физическом, а о математическом и, наверное, философском парадоксе. В математике бесконечное множество натуральных чисел реально (в определённом смысле) существует, и ничто не запрещает нам проводить с ним мысленные эксперименты.

Tags: ,

Comments

[User Picture]
From:a_v_k_73
Date:Октябрь 31, 2010 01:58 pm
(Link)
нет никакого парадокса. множество нулевой меры (или, в терминах теории вероятности, нулевой вероятности) может быть очень богатым. В частности, множество Кантора имеет нулевую лебегову меру, но равномощно континууму.

Короче говоря, событие, реализация которого имеет вероятность ноль, не то же самое, что невозможное событие.

[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 31, 2010 05:26 pm
(Link)
Это понятно, об этом я говорил в первом случае. Выпадение конкретного номера - событие невероятное, но возможное. Здесь множество всех возможных событий имет бесконечное число членов. Но во втором случае событий всего два. Вероятность одного собыия - ноль, другого - единица. При таких условиях событие один (N < Q) кажется не толкьо невероятным, но и не возможным.
[User Picture]
From:a_v_k_73
Date:Октябрь 31, 2010 08:19 pm
(Link)
Тогда я не понял, в чем парадокс-то? Для всякого *наперед*заданного* ку вероятность вытащить меньшее — ноль, вероятность вытащить большее — единица (к слову, тут не все так просто: комбинаторная вероятность, которой Вы считаете, неприменима к бесконечному числу исходов, тут надо бы осторожно строить вероятностное пространство, но пусть покуда так, как есть). И? Какое событие тут невозможно?
[User Picture]
From:a_v_k_73
Date:Октябрь 31, 2010 08:21 pm
(Link)
ЗЫ. Там фалькао внизу совершенно правильно, кстати, пишет о трудностях с введением вероятностного пространства в рассматриваемом случае. Так что я туда сошлюсь :)
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 31, 2010 10:05 pm
(Link)
Да, возможно дело в этом. Но интуиция напрочь отказывается воспринимать такое объяснение :)
[User Picture]
From:a_v_k_73
Date:Октябрь 31, 2010 10:24 pm
(Link)
А тут математика нужна, а не интуиция :)
[User Picture]
From:weter_peremen
Date:Октябрь 31, 2010 02:02 pm
(Link)
Имхо

В первой задаче мы выбираем из бесконечности вариантов. Поэтому вероятность угадать равна 1/бесконечность -> 0

Во второй задаче выбор из двух состояний: входит в промежуток или не входит. Вероятность угадать равна 1/2=50%
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 31, 2010 05:28 pm
(Link)
Напоминает анекдот про динозавра за углом :)
Конечно же нет! Вероятность была бы равна 1/2 только в том случае, если бы чило Q делило чиловую ось пополам. Понятно, что ни одно конечое число ось пополам не делит.
[User Picture]
From:daddym
Date:Октябрь 31, 2010 02:29 pm
(Link)
Ога присоеденюсь к предыдущему автору. Переформулируем задачу так - мы дважды случайно делаем выбор из бесконечного ряда. Очевидно что либо одно число больше либо второе и вероятность этого 0.5. Строго доказывается по индукции с ростом числа элементов в бесконенчость.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 31, 2010 05:30 pm
(Link)
В этом случае вероятность действительно 0.5. Но это е переформулирование, это другая задача.
[User Picture]
From:falcao
Date:Октябрь 31, 2010 03:28 pm

неравномерные распределения

(Link)
Тут объяснение очень простое. В основе лежит тот факт, что не существует "равномерного" вероятностного распределения на множестве натуральных чисел.

Всякое вероятностное распределение на N описывается последовательностью неотрицательных чисел an, где сумма ряда a1+a2+...+an+... равна 1. Это даёт в точности все распределения. Число an здесь равно вероятности того, что загаданное число равно n.

Ясно, что для любого такого распределения, существует номер N, при котором вероятность того, что загаданный "случайно" номер не превосходит N, будет сколь угодно близка к 1. Аргумент о том, что вероятность попадания в конечный отрезок должна быть меньше вероятности попадания в бесконечный, основана на неявном преположении о "равномерности". Однако распределений с таким свойством просто не существует.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 31, 2010 05:35 pm

Re: неравномерные распределения

(Link)
Не понял, откуда тут неравномерное распределение? Возьмём тот же лотерейный барабан. Вероятность выпадения для любого шара одинакова: 1/N (N - количество шаров в барабане). Что изменится, если N - бесконечность?
[User Picture]
From:falcao
Date:Октябрь 31, 2010 05:42 pm

отсутствие распределения

(Link)
Случай равномерного распределения на конечном множестве не обобщается на случай бесконечности. В первом случае Вы каждому числу от 1 до N сопоставляете вероятность, равную 1/N. При этом сумма вероятностей равна 1. Если же Вы то же самое проделаете с натуральным рядом, то каждому числу будет сопоставлен ноль (как предел 1/N при N стремящемся к бесконечности. Однако сумма бесконечного числа нулей (то есть сумма числового ряда 0+0+0+...) равна нулю, а не единице. В итоге не получается того, что называется "вероятностным распределением".
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 31, 2010 05:50 pm

Re: отсутствие распределения

(Link)
"Однако сумма бесконечного числа нулей (то есть сумма числового ряда 0+0+0+...) равна нулю, а не единице."

По-моему, тут следует вести речь не о сумме нулей, а о сумме бесконечно малых. Разве нет?


[User Picture]
From:falcao
Date:Октябрь 31, 2010 06:15 pm

non-standard analysis

(Link)
При "классическом" определении понятий все вероятности должны быть "обычными" действительными числами. Можно, конечно, рассмотреть какое-то обобщение в духе "нестандартного анализа" Абрахама Робинсона, где "бесконечно малые" определяются в совершенно строгом смысле. Однако и в этом случае не будет "равномерности", потому что получится последовательность a1, a2, ... бесконечно малых чисел, сумма которых равна 1, но сами эти числа будут друг от друга отличаться (на "бесконечно малую более высокого порядка). Нетрудно показать, что сделать их равными между собой в принципе нельзя даже при таком подходе.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 31, 2010 06:28 pm

Re: non-standard analysis

(Link)
Показать, может, и не трудно, увидеть трудно :)
А вот уважаемый jak40 предлагает другую версию решения парадокса. На мой неискушенный взгляд она выглядит более убедительно.
[User Picture]
From:falcao
Date:Ноябрь 1, 2010 09:07 am

искушённым взглядом :)

(Link)
Прежде чем решать какую-то задачу, её надо сначала поставить. Я обратил внимание на то, что Вы исходите из "равномерного" распределения на множестве натуральных чисел. Но такового просто не существует, и соответствующий факт вытекает из аксиоматики теории вероятностей.

Список аксиом ведь там очень короткий, и достаточно убедиться в том, что из него сразу следует требуемый факт. Напомню, что вероятность является счётно-аддитивной функцией. Это означает, что если у вас имеются попарно не пересекающиеся события A1, A2, ..., An, ..., то вероятность объединения этих событий равна сумме числового ряда P(A1)+P(A2)+... .

Если событие An состоит в том, что выпало натуральное число n, то сумма ряда должна равняться единице, так как объединение событий -- это полное событие, и оно исчерпывает все возможности. И тогда, если под "равномерностью" иметь в виду то, что все вероятности равны одному и тому же числу -- скажем, p, то возникает ряд p+p+... из одинаковых членов. Очевидно, что он не может сходиться к 1, так как при p=0 он сходится к 0, а при остальных значениях p -- расходится.

В этом состоит простое доказательство о том, что на множестве натуральных чисел невозможно ввести равномерное распределение. Вы же его рассматриваете, и не удивительно, что где-то возникает противоречие. Так было бы с любым несуществующим объектом: если кто-то рассмотрит фигуру, которая есть и параллелограмм, и треугольник одновременно, а потом начнёт рассуждать, то где-то такое несоответствие обнаружится. Но его имеет смысл обнаружить как можно раньше.

Мы ведь всегда имеем право сказать "рассмотрим то-то и то-то", но обычно требуется обосновать существование хотя бы одного объекта с требуемыми свойствами. У Вас же подразумевается, что равномерное распределение на N нам подарил какой-то "добрый дядя" :) А как у него устроен сам "лототрон"? По какому принципу этот самый "фотон" должен "тормозить"? Если он нигде не тормозит, то нет "результативности", то есть случайная величина уходит в бесконечность, не принимая никакого значения. А если Вы зададите какой-то "принцип торможения", то нужно будет обосновать равномерность.

Я обращу внимание ещё вот на что: если Вас попросят указать "случайное" натуральное число, то это вроде бы нетрудно сделать, когда Вы "про себя" загадали его "длину", то есть число десятичных знаков. И потом на нужных местах Вы "случайно" и "равномерно" вписываете цифры. Но как Вы определили само число мест? Его надо было сначала загадать, но это ровно та же самая задача! Потому что число должно быть m-значным, где m выбирается "случайно". Это может быть что угодно: хоть 7, хоть 777, хоть 7 в седьмой степени, взятое 777! раз.

Другая попытка "загадать" число приводит вот к чему: мы сначала случайно выбираем его последнюю цифру с вероятностью 1/10, затем предпоследнюю с такой же вероятностью и так далее. При этом всё становится "равномерно", но загаданное число окажется не натуральным! Если бы мы взяли за основу двоичную систему, у нас бы получились так называемые 2-адические числа. На них вполне возможно рассматривать равномерное распределение, но там уже свойства получаются другие.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Ноябрь 1, 2010 06:15 pm

Re: искушённым взглядом :)

(Link)
> И тогда, если под "равномерностью" иметь в виду то, что все вероятности равны одному и тому же числу -- скажем, p, то возникает ряд p+p+... из одинаковых членов. Очевидно, что он не может сходиться к 1, так как при p=0 он сходится к 0, а при остальных значениях p -- расходится.

Я всё-таки не понял: почему нельзя считать, что p -
бесконечно малое? Ведь в данном случае при любом N сумма ряда равна:

1/N + 1/N + ... (и так N раз) = N/N = 1.

В пределе N -> оо (оо - бесконечность) отдельный член ряда - бесконечно малая, но сумма ряда остаётся равной единице.

Я тут в этой связи вот ещё что подумал. Пусть мы случайно выбираем точку (действительное число) на числовой прямой в диапазоне 0 - 1. Здесь-то ведь распределение вероятности явно равномерное! (или тоже нет?!) И для подсчёта полной вероятности также используется, по сути, числовой ряд бесконечно малых, который вырождается в интеграл. Выбор здесь осуществляется из беконечного
множества действительных чисел. Так в чём принципиальное отличие это выбора от того, который мы рассматриваем (выбора из бесконечного множества натуральных чисел)? Почему в одном случае мы можем говорить о равномерном
распределении, а во втором - нет? Потому что в одном случае счётное множество, а во втором - несчётное? Не вопрос, давайте будем выбирать между 0 и 1 только рациональные числа, тогда аналогия вообще почти полная.

> У Вас же подразумевается, что равномерное распределение на N нам подарил какой-то "добрый дядя" :)


На самом деле любое распределение, как и вообще любое свойство нашего мира нам подарил "добрый дядя" :)
Ну хорошо, если это распределение не равномерное, то какое оно? Где можно взглянуть на формулу?

> Я обращу внимание ещё вот на что: если Вас попросят указать "случайное" натуральное число, то это вроде бы нетрудно сделать, когда Вы "про себя" загадали его "длину", то есть число десятичных знаков. И потом на нужных местах Вы "случайно" и "равномерно" вписываете цифры. Но как Вы определили само число мест? Его надо было сначала загадать, но это ровно та же самая задача! Потому что число должно быть m-значным, где m выбирается "случайно". Это может быть что угодно: хоть 7, хоть 777, хоть 7 в седьмой степени, взятое 777! раз.

Кстати, возвращаясь к случайному выбору действительного (или рационального)числа между 0 и 1. Видимо, в результате идеально случайного выбора мы получим число, которое невозможно записать ни в какой системе счисления. Я имею ввиду, записать конечной записью.

> Другая попытка "загадать" число приводит вот к чему: мы сначала случайно выбираем его последнюю цифру с вероятностью 1/10, затем предпоследнюю с такой же вероятностью и так далее. При этом всё становится "равномерно", но загаданное число окажется не натуральным!

Упс... Как же оно может быть ненатуральным, если оно целое и положительное?
[User Picture]
From:falcao
Date:Ноябрь 1, 2010 07:19 pm

пределы применимости законов (1)

(Link)
> отдельный член ряда - бесконечно малая

До появления "нестандартного анализа" (то есть до 60-х годов XX века) понятие "бесконечно малой величины" было не вполне корректным. В лучшем случае, под этим могла пониматься некая функция (или последовательность, как частный случай функции). Но какую бы точку зрения ни взять, в любом случае получается, что самих "бесконечно малых величин" очень мало, и все они совершенно разные. Поэтому если Вы утверждаете, что при делении на N "в пределе" получается бесконечно малая величина, то надо указать, какая именно.

Кроме того, нужно быть уверенным, что для таких "величин" будут справедливы какие-то арифметические законы. Последнее совершенно ниоткуда не следует. Простейший пример: если рассмотреть "величину" S, которая "равна" бесконечной сумме единиц, то есть сумме ряда 1+1+1+..., то она должна удовлетворять равенству S=1+(1+1+...)=1+S. За этим рассуждением пока что есть некий смысл -- по крайней мере, его можно придать. Но вот если мы далее "сократим" на S и получим равенство 0=1, то это будет уже ошибкой. То есть "обычные" правила арифметики на этот случай не распространяются.

Итак, что же может быть "кандидатом" на роль такой б.м.в. в нашем случае? Мне не приходит в голову ничего, кроме последовательности 1, 1/2, 1/3, ..., которая стремится к нулю. Замечу, что все эти последовательности будут одинаковы. Если мы начнём их складывать почленно, то при суммировании бесконечного числа членов у нас будут "накапливаться" суммы в каждом члене, то есть все они начнут стремиться к бесконечности, и никакую единицу мы в результате не получим. То есть эта идея не проходит -- по крайней мере, "напрямую". А это означает, что Ваш замысел уже на этой стадии нуждается в "доработке": те понятия, которые используются в дальнейшем рассуждении, пока не определены, и с чем далее идёт работа -- совершенно непонятно.

Я сразу скажу, что есть один путь, который позволяет отчасти "спасти" это построение, но он не ведёт к "равномерному" распределению на множестве натуральных чисел. Идея вот какая: мы берём в качестве N не "бесконечность", на которую мы не имеем возможности поделить и всё потом просуммировать, а заменяем её на какое-то "огромное" число, до которого никто не в силах "досчитать". Но мы при этом можем представить себе "воображаемое" вычислительное устройство, которое с числами этого диапазона работает. Оно будет выдавать какие-то "случайно выбранные" числа от 1 до N, но они, скорее всего (то есть с вероятностью, близкой к единице) будут настолько большие, что мы их не сможем до конца даже "прочитать". Насколько я понимаю, примерно такую идею и отстаивал здесь Як40, но реализовать её можно всё-таки только на конечном, пусть и чисто "теоретически", материале. Мы вместо "бесконечности" берём её "заменитель", который "имитриует" многие её свойства.

Теперь о равномерном распределении на множестве действительных чисел. Здесь всё корректно, потому что для него задаётся функция распределения по очень простому закону: вероятность попадания на отрезок длиной x (при "случайном бросании" точки в отрезок [0,1]) полагается равной x. Здесь всё совершенно корректно, и отличие в том, что когда множество исходов счётно, и вероятность каждого исхода равна нулю, то ввиду свойства счётной аддитивности вероятности, получается равна нулю и вероятность полного события. Но с континуумом этот приём не проходит, потому что "континуальной аддитивности" нет и не может быть. Опять же легко показать, что просуммировать такие вещи никаким "разумным" способом нельзя. Самым близким "аналогом" было бы интегрирование, но оно представляет собой совсем другой приём.

ПРОСЬБА ОТВЕЧАТЬ НИЖЕ!
[User Picture]
From:falcao
Date:Ноябрь 1, 2010 07:20 pm

пределы применимости законов (2)

(Link)
К тому же "случайный выбор" вещественного числа имеет очень простой смысл: мы выписываем бесконечную дробь, загадывая цифры "случайно" с равной вероятностью. после бесконечного числа шагов такого процесса мы и получим действительное число. Оно с вероятностью 1 будет иррациональным в силу "случайности" выбора цифр. То есть как-то "вырулить" за счёт того, что рациональные числа образуют подмножество, у нас не получится. Не говоря о том, что на этом счётном множестве ничего "равномерного" быть не может по причинам "фатальным".

Наконец, о самом последнем: там надо было взять в кавычки слово "число". Если Вы начнёте его выписывать, то в нём будет бесконечно много разрядов. У него просто не будет "старшего" разряда. Оно начинается "из бесконечности", поэтому не будет натуральным. Последнее имело бы место только тогда, когда в нём все разряды старше некоторого -- нулевые, но такие числа получаются с нулевой вероятностью, как и рациональные числа выше.

На самом деле, такие числа (вида, скажем, ...5109188222 -- я взял что попало для примера) можно складывать, умножать, и даже делить, если основание системы счисления равно простому числу p. Например, двойке. Числа такого вида называются p-адическими, и это очень полезная, интересная и важная конструкция в математике.
[User Picture]
From:eslitak
Date:Ноябрь 2, 2010 05:06 pm

Re: пределы применимости законов (2)

(Link)
Спасибо за такой обстоятельный ответ!

Но всё-таки, если распределение вероятности на бесконечном множестве натуральных чисел не равномерное, то какое оно?
[User Picture]
From:falcao
Date:Ноябрь 2, 2010 05:38 pm

описание распределений

(Link)
Выше я давал полное описание всех вероятностных распределений на множестве N. Могу напомнить: всякое такое распределение однозначно задаётся последовательностью неотрицательных чисел an таких, что сумма ряда, составленного из них, равна 1.

То есть Вы на первом шаге загадываете любое число a1 из отрезка [0,1]. Это означает, что от имеющегося единичного "запаса" вы "съели" долю, равную a1. Теперь Вы загадываете произвольное число a2, но уже из отрезка [0,1-a1]. Это есть то количество "продукта", которое Вы решаете "употребить" во второй день. Соответственно, Ваше "меню" на третий день будет состоять из "доли", равной a3 из отрезка [1-a1-a2], и так далее. При этом за бесконечное число дней весь "продукт" должен быть "съеден".

Можно дать ещё более наглядную геометрическую интерпретацию. Рассмотрим последовательность частичных сумм ряда, то есть S0=0, S1=a1, S2=a1+a2, ... и так далее. Это будет неубывающая последовательность точек отрезка [0,1], стремящаяся к его правому концу, то есть к единице. Как бы Вы ни выбирали такие точки -- каждая правее следующей (или равная ей), это однозначно задаёт распределение. И если при помощи конечного числа точек Вы легко можете разбить отрезок на равные части, то при помощи счётного их числа этого сделать уже нельзя. Этот факт легко почувствовать почти "физически", и он в точности означает отсутствие равномерных распределений.

Подразумевается, что точки выбираются в виде неубывающей последовательности, которая по условию должна быть арифметической прогрессией. Это возможно только для конечного числа членов.
[User Picture]
From:jak40
Date:Октябрь 31, 2010 05:14 pm
(Link)
...какова вероятность верно предсказать, что случайно выбранный номер окажется меньше определённого конечного числа Q? вероятность равна нулю.

Нулю, конечно. Теперь поищем парадокса:
...парадокс. Нам ведь ничто не мешало выбрать в качестве числа Q, предположим, число N+10...

- Не, не парадокс. Мешало: определённого конечного числа Q - если определенного, то уже не выбрать!

Почти реальный эксперимент провести можно:
Берем (мы!) определённое (!) число Q. Например, миллион факториал. Можно для надежности еще в миллиардную степень возвести.
Теперь просим у математики натуральное число. Математика, для которой, в отличие от нас, бесконечное множество натуральных чисел реально, выбирает что-то из серединки, т.е. по нашим меркам - из где-то района полбесконечности.
Наше бедное Q, вполне в соответствии с вероятностью, лежит бесконечно далеко в стороне нуля...
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 31, 2010 05:41 pm
(Link)
В принципе, я и сам склоняюсь к такому объяснению. Но у меня "рвёт шаблон", когда я пытаюс представить себе, как можно "выдернуть" из гипотетического ящика с бесконечным количеством шаров шар, на котором написан номер "бесконечность попалам". В моём представлении понятие бесконечности применимо только к множествам, но не к одиночным числам.
[User Picture]
From:jak40
Date:Октябрь 31, 2010 06:14 pm
(Link)
Как отвечала на экзамене по терверу (!) одна моя соученица:
- Что у Вас обозначает х?
- Это... верятность...
- Но у Вас же написано, что х стемится к бесконечности?!
- Это бесконечно большая вероятность...
(зановес, преподавателя выносят)

Нет, натуральное число на нем, конечно, конечное, но записанный бисерным почерком ряд цифр тает в бесконечности без шансов, что их кто-то когда-то хотя бы досканирует до конца.
Нет, лучше! - ...что какой-нибудь фотон когда-нибудь долетит до последней цифры :)
[User Picture]
From:eslitak
Date:Октябрь 31, 2010 06:23 pm
(Link)
О! Разрыв склеен, спасибо :)
[User Picture]
From:jak40
Date:Октябрь 31, 2010 08:00 pm
(Link)
Рад за него :)) - на здоровье!
Разработано LiveJournal.com